Яка площа поверхні многогранника, вершинами якого є середини всіх ребер куба, якщо довжина одного ребра куба дорівнює

Щоб визначити площу поверхні многогранника, вершинами якого є середини всіх ребер куба, необхідно скласти розгортку цього многогранника і розрахувати площу кожної його грани.

Для початку, давайте з"ясуємо кількість ребер у кубі. Куб має 6 граней, і кожна грань має 4 ребра. Тому загальна кількість ребер у кубі дорівнює \(6 \times 4 = 24\).

Тепер, коли ми знаємо кількість ребер, ми можемо обчислити кількість вершин. Кожне ребро куба має свою середину, і ця середина є вершиною нашого многогранника. Значить, кількість вершин дорівнює 24.

Так як многогранник складається з 24 вершин, нам потрібно визначити форму цього многогранника. Звернімо увагу, що в многогранника вершинами якого є середини всіх ребер куба, кожді дві сусідні вершини з"єднані ребром. Тобто, цей многогранник має форму октаедра.

Октаедр має 8 граней, кожна з яких - рівносторонній трикутник. Формула площі рівностороннього трикутника виглядає так: \(P = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}\), де \(a\) - довжина сторони трикутника.

У нашому випадку, довжина сторони трикутника дорівнює половині довжини ребра куба, оскільки вершини октаедра розташовані в середині ребер куба. Тому \(a = \frac{l}{2}\), де \(l\) - довжина одного ребра куба.

Підставимо значення у формулу площі рівностороннього трикутника:

\[P = \frac{{\left(\frac{l}{2}\right)^2 \sqrt{3}}}{4} = \frac{{l^2 \sqrt{3}}}{16}\]

Отже, площа поверхні октаедра, вершинами якого є середини всіх ребер куба, дорівнює \(\frac{{l^2 \sqrt{3}}}{16}\).