Яка є площа перерізу через вершину конуса, коли радіус його основи дорівнює r, твірна нахиляється до плоскості

Задача: Яка є площа перерізу через вершину конуса, коли радіус його основи дорівнює \( r \), твірна нахиляється до плоскості під кутом \( \alpha \), а площина, проведена під кутом \( \phi \) до висоти конуса?

Для визначення площі перерізу через вершину конуса, ми будемо використовувати геометричні властивості цієї фігури.

1. Визначення твірної нахиленої до плоскості під кутом \( \alpha \):
Твірна - це пряма, яка дотикається плоскої фігури в одній точці. В даному випадку, твірна дотикається основи конуса. Коли твірна нахиляється до плоскості під кутом \( \alpha \), то вона утворює з вертикалью кут \( \alpha \).

2. Визначення площини, проведеної під кутом \( \phi \) до висоти конуса:
Площина, проведена під кутом \( \phi \) до висоти конуса, розрізає конус на дві частини. Одну частину можна уявити як бічну поверхню конуса, проходячи знизу до вершини, а іншу частину - як площину перерізу через вершину конуса.

Важливою властивістю конуса є те, що його бічна поверхня творить з основою конуса рівновеликий круговий сектор. Значить, площина, проведена під кутом \( \phi \) до висоти конуса, також розділить конус на круговий сектор, при чому цей сектор матиме кут \( \phi \).

Отже, площа перерізу через вершину конуса дорівнює площі кругового сектора, який утворений площиною, проведеною під кутом \( \phi \) до висоти конуса.

Для обчислення площі даного сектора, нам потрібно знати радіус конуса та кут, який утворює площина з вершини конуса.
Задача надає радіус основи \( r \), тому ми вже маємо цю інформацію. Але точна величина куту \( \phi \) не надається.

Щоб підібрати відповідний кут \( \phi \), який нам потрібний, ми можемо скористатися таким співвідношенням:

\[ \phi = 2 \pi - \alpha \]

де \( \pi \) є числом пі, а \( \alpha \) - кутом, нахиленим твірна.

Тепер, коли ми знаємо значення куту \( \phi \), ми можемо обчислити площу перерізу через вершину конуса, використовуючи формулу для площі кругового сектора:

\[ S = \frac{{\phi}}{{2\pi}} \times \pi r^2 \]

де \( S \) - шукана площа перерізу, \( \phi \) - кут, утворений площиною, проведеною під кутом \( \phi \) до висоти конуса, а \( r \) - радіус основи конуса.

Тепер, ми можемо обчислити шукану площу перерізу через вершину конуса, замінивши в формулі відповідні значення:

\[ S = \frac{{2 \pi - \alpha}}{{2\pi}} \times \pi r^2 \]

\[ S = (1 - \frac{{\alpha}}{{2\pi}}) \times \pi r^2 \]

Отже, площа перерізу через вершину конуса дорівнює \( (1 - \frac{{\alpha}}{{2\pi}}) \times \pi r^2 \).

Будь ласка, зверніть увагу, що це загальна формула для обчислення площі перерізу, а конкретні значення \( \alpha \) та \( r \) повинні бути вводитися в якості вхідних даних для вирішення завдання.