Яка площа круга, який вписаний у круговий сектор з радіусом r і центральним кутом 60 градусів?

Щоб знайти площу вписаного круга, нам потрібно знати радіус головного кола, радіус вписаного круга і центральний кут сектора. У даному випадку, задані радіус головного кола \(r\) і центральний кут сектора \(60\) градусів.

Спочатку знайдемо радіус вписаного круга. Радіус вписаного круга є відстанню від центра головного кола до будь-якої точки на його обведеному колу. Враховуючи, що центральний кут сектора складає \(60\) градусів, цей кут дорівнює третині повного кута \(360\) градусів.

Отже, ми можемо використати трикутник, який утворено радіусом \(r\) і стороною вписаного круга, для знаходження радіуса вписаного круга. Використаємо тригонометрію, а саме, теорему синусів.

Нехай \(R\) буде радіус вписаного круга. Тоді, за теоремою синусів:

\[
\frac{R}{\sin 60} = \frac{r}{\sin 90}
\]

Оскільки \(\sin 90 = 1\), ми можемо спростити це рівняння до:

\[
R = \frac{r \cdot \sin 60}{\sin 90}
\]

Знаючи, що \(\sin 60 = \frac{\sqrt{3}}{2}\), ми можемо продовжити:

\[
R = \frac{r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \frac{r\sqrt{3}}{2}
\]

Тепер, ми можемо відомий радіус \(R\) вписаного круга використовувати для знаходження його площі. Площа круга може бути знайдена за формулою \(\pi R^2\), де \(\pi\) - це число пі, близько рівне \(3.14\).

Отже, площа вписаного круга складає:

\[
S = \pi R^2 = \pi \left( \frac{r\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \pi \cdot \frac{3r^2}{4}
\]

Таким чином, площа круга, який вписаний у круговий сектор з радіусом \(r\) і центральним кутом \(60\) градусів, дорівнює \(\frac{3\pi r^2}{4}\).