Яка кількість речовини присутня в газі, якого температура зменшилася на 5 ∘C під час розширення, якщо відомо

Для решения данной задачи мы можем использовать уравнение состояния идеального газа, которое записывается следующим образом:

\[PV = nRT,\]

где P - давление газа, V - его объем, n - количество вещества (в молях), R - универсальная газовая постоянная, T - температура газа.

Первым шагом, нам необходимо найти количество вещества газа (n), используя данные, что газ выполнил работу (W) и не происходило теплообмена с окружающей средой.

Известно, что работа, выполненная газом (W), связана с изменением объема газа (ΔV) следующим образом:

\[W = -ΔU,\]

где ΔU - изменение внутренней энергии газа.

Так как мы знаем, что розширення произошло без теплообмена, то изменение внутренней энергии газа составит:

\[\Delta U = Q - W = 0 - W = -W.\]

Следовательно, работа, выполняемая газом, будет равно изменению внутренней энергии:

\[W = -ΔU.\]

Нам дано значение работы (W) равной 62325 Дж, поэтому:

\[W = -ΔU = 62325.\]

Кроме того, мы знаем, что работа (W) также связана с изменением температуры (ΔT) следующим образом:

\[W = nCΔT,\]

где C - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Поскольку речь идет об изохорном процессе (без изменения объема), то можно записать:

\[W = nC_vΔT,\]

где \(C_v\) - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Теперь мы можем выразить \(\Delta T\) через работу (W) и молярную теплоемкость при постоянном объеме (\(C_v\)):

\[\Delta T = \frac{W}{nC_v}.\]

Используя уравнение состояния идеального газа, мы можем записать:

\[PV = nRT.\]

Так как газ происходит в изохорных условиях, объем газа (V) остается постоянным, поэтому его можно выразить через другие известные величины:

\[nRT = Pv.\]

Мы знаем, что газ расширяется, следовательно, его объем увеличивается, а значит давление уменьшается. Обозначим начальное давление газа, до изменения температуры, как \(P_0\), а конечное давление, после изменения температуры, как \(P\).

Теперь мы можем записать уравнение для начального состояния газа:

\[P_0V = nRT_0.\]

И уравнение для конечного состояния газа:

\[PV = nRT.\]

Поделив уравнения соответственно, мы получим:

\[\frac{P_0V}{PV} = \frac{nRT_0}{nRT}.\]

Упрощая выражение, получаем:

\[\frac{P_0}{P} = \frac{T_0}{T}.\]

Перепишем это уравнение в виде:

\[P = \frac{P_0 T}{T_0}.\]

Теперь, когда мы получили выражение для P, мы можем подставить его в наше предыдущее уравнение:

\[\Delta T = \frac{W}{nC_v} = \frac{P_0 T}{T_0}.\]

Так как мы знаем, что изменение температуры равно -5 °C, можно записать:

\[-5 = \frac{P_0 T}{T_0}.\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(\frac{P_0 T}{T_0}\):

\[\frac{P_0 T}{T_0} = -5.\]

И выразить его через исходные данные:

\[\frac{P_0 T}{T_0} = -5.\]

\[P_0 T = -5T_0.\]

Теперь, используя значение газовой постоянной R = 8,31 Дж/(к⋅моль), мы можем записать:

\[P_0 V = nRT_0.\]

\[\frac{P_0 V}{RT_0} = n.\]

Теперь мы можем выразить исходное выражение \(\frac{P_0 T}{T_0}\) через известные величины:

\[-5 = \frac{P_0 T}{T_0}.\]

\[-5 = \frac{\frac{P_0 V}{RT_0} T}{T_0}.\]

\[-5 = \frac{P_0 V}{R}.\]

Используя значение работы W = 62325 Дж, мы можем записать:

\[\frac{P_0 V}{R} = 62325.\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно P_0 V:

\[P_0 V = 62325 R.\]

И, наконец, подставить значение газовой постоянной R = 8,31 Дж/(к⋅моль):

\[P_0 V = 62325 \times 8,31.\]

Вычислив значение произведения, мы получаем:

\[P_0 V = 517282,5.\]

Таким образом, количество вещества газа в исходном состоянии равно 517282,5.