Яка кількість речовини присутня в газі, якого температура зменшилася на 5 ∘C під час розширення, якщо відомо

Для решения данной задачи мы можем использовать уравнение состояния идеального газа, которое записывается следующим образом:

$$PV=nRT,$$

где P - давление газа, V - его объем, n - количество вещества (в молях), R - универсальная газовая постоянная, T - температура газа.

Первым шагом, нам необходимо найти количество вещества газа (n), используя данные, что газ выполнил работу (W) и не происходило теплообмена с окружающей средой.

Известно, что работа, выполненная газом (W), связана с изменением объема газа (ΔV) следующим образом:

$$W=-\Delta U,$$

где ΔU - изменение внутренней энергии газа.

Так как мы знаем, что розширення произошло без теплообмена, то изменение внутренней энергии газа составит:

$$\mathrm{\Delta }U=Q-W=0-W=-W.$$

Следовательно, работа, выполняемая газом, будет равно изменению внутренней энергии:

$$W=-\Delta U.$$

Нам дано значение работы (W) равной 62325 Дж, поэтому:

$$W=-\Delta U=62325.$$

Кроме того, мы знаем, что работа (W) также связана с изменением температуры (ΔT) следующим образом:

$$W=nC\Delta T,$$

где C - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Поскольку речь идет об изохорном процессе (без изменения объема), то можно записать:

$$W=n{C}_v\Delta T,$$

где $C_v$ - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Теперь мы можем выразить $\mathrm{\Delta }T$ через работу (W) и молярную теплоемкость при постоянном объеме ($C_v$):

$$\mathrm{\Delta }T=\frac{W}{n{C}_v}.$$

Используя уравнение состояния идеального газа, мы можем записать:

$$PV=nRT.$$

Так как газ происходит в изохорных условиях, объем газа (V) остается постоянным, поэтому его можно выразить через другие известные величины:

$$nRT=Pv.$$

Мы знаем, что газ расширяется, следовательно, его объем увеличивается, а значит давление уменьшается. Обозначим начальное давление газа, до изменения температуры, как $P_0$, а конечное давление, после изменения температуры, как $P$.

Теперь мы можем записать уравнение для начального состояния газа:

$$P_{0}V=nR{T}_0.$$

И уравнение для конечного состояния газа:

$$PV=nRT.$$

Поделив уравнения соответственно, мы получим:

$$\frac{P_{0}V}{PV}=\frac{nR{T}_0}{nRT}.$$

Упрощая выражение, получаем:

$$\frac{P_0}{P}=\frac{T_0}{T}.$$

Перепишем это уравнение в виде:

$$P=\frac{P_{0}T}{T_0}.$$

Теперь, когда мы получили выражение для P, мы можем подставить его в наше предыдущее уравнение:

$$\mathrm{\Delta }T=\frac{W}{n{C}_v}=\frac{P_{0}T}{T_0}.$$

Так как мы знаем, что изменение температуры равно -5 °C, можно записать:

$$-5=\frac{P_{0}T}{T_0}.$$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $\frac{P_{0}T}{T_0}$:

$$\frac{P_{0}T}{T_0}=-5.$$

И выразить его через исходные данные:

$$\frac{P_{0}T}{T_0}=-5.$$

$$P_{0}T=-5T_0.$$

Теперь, используя значение газовой постоянной R = 8,31 Дж/(к⋅моль), мы можем записать:

$$P_{0}V=nR{T}_0.$$

$$\frac{P_{0}V}{R{T}_0}=n.$$

Теперь мы можем выразить исходное выражение $\frac{P_{0}T}{T_0}$ через известные величины:

$$-5=\frac{P_{0}T}{T_0}.$$

$$-5=\frac{\frac{P_{0}V}{R{T}_0}T}{T_0}.$$

$$-5=\frac{P_{0}V}{R}.$$

Используя значение работы W = 62325 Дж, мы можем записать:

$$\frac{P_{0}V}{R}=62325.$$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно P_0 V:

$$P_{0}V=62325R.$$

И, наконец, подставить значение газовой постоянной R = 8,31 Дж/(к⋅моль):

$$P_{0}V=62325\times 8,31.$$

Вычислив значение произведения, мы получаем:

$$P_{0}V=517282,5.$$

Таким образом, количество вещества газа в исходном состоянии равно 517282,5.