Яка кількість гарячої води потрібна за температури 80 градусів, щоб нагріти 100 г холодної води від 8 до 20 градусів?

Для решения данной задачи, в первую очередь, нужно найти количество тепла, необходимого для нагрева холодной воды от 8 до 20 градусов. Затем вычислим количество тепла, выделяемого горячей водой при охлаждении от 80 до 20 градусов. И, наконец, найдем разницу этих двух количеств, которая и будет являться искомым количеством горячей воды.

Воспользуемся формулой для расчета количества тепла \( Q = mC\Delta T \), где \( Q \) - количество тепла, \( m \) - масса вещества, \( C \) - теплоемкость вещества, \( \Delta T \) - изменение температуры.

1. Найдем количество тепла, необходимое для нагрева холодной воды от 8 до 20 градусов:
\( Q_1 = m_1C_1\Delta T_1 \)
\( m_1 = 100 г \) - масса холодной воды
\( C_1 = 1 кал/градус \) - теплоемкость воды (примем ее равной 1 кал/градус для упрощения расчетов)
\( \Delta T_1 = 20 - 8 = 12 градусов \) - изменение температуры

\( Q_1 = 100 \cdot 1 \cdot 12 = 1200 кал \)

2. Найдем количество тепла, выделяемое горячей водой при охлаждении от 80 до 20 градусов:
\( Q_2 = m_2C_2\Delta T_2 \)
\( m_2 \) - масса горячей воды (это и будет искомое значение)
\( C_2 = 1 кал/градус \) - теплоемкость воды
\( \Delta T_2 = 80 - 20 = 60 градусов \) - изменение температуры

\( Q_2 = m_2 \cdot 1 \cdot 60 \)

3. Теперь найдем разницу между количеством тепла, необходимым для нагрева холодной воды, и количеством тепла, выделяемым горячей водой:
\( Q = Q_1 - Q_2 = 1200 - m_2 \cdot 60 \)

4. Также нам нужно учесть теплоемкость калориметра. Теплоемкость калориметра составляет 50 Дж/градус. Для перевода теплоемкости в калориях в джоули, воспользуемся формулой: \( 1 кал = 4.184 Дж \)
Таким образом, теплоемкость калориметра составляет: \( C_3 = 50 \cdot 4.184 = 209.2 Дж/градус \)

5. Запишем уравнение, учитывающее все величины:
\( Q = Q_1 - Q_2 = 1200 - m_2 \cdot 60 \)
Теперь добавим в это уравнение теплоемкость калориметра:
\( Q + m_2 \cdot C_3 \cdot \Delta T_2 = 1200 - m_2 \cdot 60 + m_2 \cdot 209.2 \cdot 60 \)
Обратим внимание, что \( \Delta T_2 = 60 \), так как расчет происходит между температурой 80 и 20 градусов.

6. Решим полученное уравнение относительно \( m_2 \):
\( 1200 - m_2 \cdot 60 + m_2 \cdot 209.2 \cdot 60 = 1200 \)
\( - m_2 \cdot 60 + m_2 \cdot 209.2 \cdot 60 = 0 \)
\( m_2 \cdot (209.2 \cdot 60 - 60) = 0 \)
\( m_2 = 0 \) или \( m_2 = \frac{0}{209.2 \cdot 60 - 60} \)

Итак, получили два варианта ответа:
1) \( m_2 = 0 \) - в данном случае горячая вода не потребуется, так как ее отсутствие или количество настолько мало, что не играет существенной роли.
2) \( m_2 = \frac{0}{209.2 \cdot 60 - 60} \) - здесь получаем деление на ноль, что означает, что невозможно достичь заданной температуры 20 градусов для холодной воды, внесшего изменения в расчеты не потребуется, так как условия задачи не выполнимы.

В итоге, ответом на задачу будет: либо горячая вода не требуется (если масса горячей воды равна нулю), либо задача не имеет решения.