Яка є довжина внутрішнього касательного кола, яке дотикається зовні до двох кол радіуса 3і4 і має такий самий радіус

Для решения этой задачи, нам потребуется знать некоторые свойства и формулы о касательных к кругам.

Для начала, давайте обозначим различные величины, чтобы легче ориентироваться:

Пусть первое кольцо имеет радиус \(r_1 = 3\).
Второе кольцо имеет радиус \(r_2 = 4\).
Третье кольцо имеет радиус \(r_3\), который мы должны найти.

Теперь рассмотрим следующие свойства:

1. Линия, которая соединяет центры двух коснувшихся кругов (радиусов \(r_1\) и \(r_2\)), является внешней общей касательной. Обозначим ее длину через \(L\).
2. Касательная, которая касается двух коснувшихся кругов (радиусов \(r_1\) и \(r_2\)) и параллельна общей касательной, является внутренней общей касательной. Обозначим ее длину через \(l\).
3. Расстояние между центрами двух коснувшихся кругов (радиусов \(r_1\) и \(r_2\)) равно сумме их радиусов: \(r_1 + r_2\).

Теперь, решим задачу пошагово:

Шаг 1: Найдем длину общей внешней касательной \(L\)

Мы знаем, что расстояние между центрами двух коснувшихся кругов равно сумме их радиусов:
\[r_1 + r_2 = 3 + 4 = 7\]

Значит, длина общей внешней касательной равна 7.

Шаг 2: Найдем длину общей внутренней касательной \(l\)

Согласно свойству 1, линия, соединяющая центры двух коснувшихся кругов, является внешней общей касательной.

Таким образом, длина общей внешней касательной равна 7, что равно длине отрезка между центром первого круга и центром третьего круга (рисунок для наглядности было бы полезно, если было сказано, что круги расположены друг над другом или по бокам).

Шаг 3: Найдем радиус третьего круга \(r_3\)

Так как третий круг касается общей внутренней касательной и имеет такой же радиус, мы можем заметить, что третий круг \(r_3\) и внешняя общая касательная образуют прямоугольный треугольник.

Применим теорему Пифагора для этого треугольника:

\[r_3^2 = (r_2 - r_1)^2 + l^2\]

Подставим известные значения:

\[r_3^2 = (4 - 3)^2 + 7^2\]

\[r_3^2 = 1 + 49\]

\[r_3^2 = 50\]

Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

\[r_3 = \sqrt{50}\]

\[r_3 = 5\sqrt{2}\]

Таким образом, длина внутренней касательной круга, который касается трех кругов радиусами 3 и 4 и имеет такой же радиус, как третий круг, равна \(l = 7\).

Надеюсь, это пошаговое объяснение помогло вам понять, как найти длину внутренней касательной круга в данной задаче. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!