Яка довжина сторони трикутника, якщо кути, прилеглі до неї, мають міру 79 та 56 градусів? Знайдіть радіус кола

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов утверждает, что отношение длины стороны треугольника к синусу соответствующего ей угла равно одинаково для всех трех сторон и углов треугольника. Формула теоремы синусов имеет вид:

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$

Где a, b, c - стороны треугольника, A, B, C - соответствующие углы.

В данной задаче мы знаем два угла треугольника: 79 градусов и 56 градусов. Мы можем назвать сторону треугольника, прилегающую к углу в 79 градусов, a, а сторону треугольника, прилегающую к углу в 56 градусов, b.

Используя теорему синусов, мы можем записать два уравнения:

$\frac{a}{\sin 79}=\frac{b}{\sin 56}$ (1)

$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ (2)

Так как угол C является противолежащим углу 56 градусов, то $\sin C=\sin 56$.

Теперь мы можем выразить сторону c через сторону a:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin 56}$

$\frac{c}{\sin 56}=\frac{a}{\sin A}$

$c=\frac{a}{\sin A}\cdot \sin 56$ (3)

Подставляем (3) в (1):

$\frac{a}{\sin 79}=\frac{b}{\sin 56}$

$\frac{a}{\sin 79}=\frac{b}{\frac{a}{\sin A}\cdot \sin 56}$

$\sin A=\frac{b\cdot \sin 79}{a\cdot \sin 56}$

Теперь у нас есть значение $\sin A$.

Мы можем использовать теорему синусов снова для вычисления стороны c:

$c=\frac{a}{\sin A}\cdot \sin 56$

Теперь мы знаем длины всех трех сторон треугольника и можем перейти к нахождению радиуса описанной окружности.

Радиус описанной окружности треугольника можно найти с помощью формулы:

$R=\frac{abc}{4S}$

Где a, b, c - стороны треугольника, S - площадь треугольника.

Площадь треугольника можно найти с помощью формулы Герона:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Где $p$ - полупериметр треугольника, который вычисляется как $p=\frac{a+b+c}{2}$.

Подставим известные значения в формулу:

$S=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\cdot (\frac{a+b+c}{2}-a)(\frac{a+b+c}{2}-b)(\frac{a+b+c}{2}-c)}$

Теперь у нас есть значение площади треугольника.

Подставим известные значения в формулу радиуса описанной окружности:

$R=\frac{abc}{4S}$

В итоге вы получите значение радиуса, который описывает треугольник с известными углами.