Яка довжина радіуса кола, що вписане у правильний n-кутник, якщо сторона кутника дорівнює 3√6 см? Знайдіть радіус

Для решения данной задачи нам понадобится знание о связи между радиусом вписанной окружности и стороной правильного n-угольника.

Радиус вписанной окружности в правильный n-угольник можно найти по формуле:

\[ r = \frac{s}{2 \cdot \tan \left(\frac{\pi}{n}\right)} \]

Где:
- \( r \) - радиус вписанной окружности
- \( s \) - сторона правильного n-угольника

В задаче у нас дана сторона квадрата, которая равна \(3\sqrt{6}\) см. Давайте рассмотрим каждый пункт по очереди.

а) При \( n = 3 \)
Мы знаем, что сторона правильного треугольника равна \(3\sqrt{6}\) см. Подставим значения в формулу:

\[ r = \frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot \tan \left(\frac{\pi}{3}\right)} \]

Вычислим значение тангенса угла \( \frac{\pi}{3} \):
\( \tan \left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \)

Подставим значения и рассчитаем радиус:
\[ r = \frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \]

Ответ: радиус вписанной окружности для правильного треугольника равен \( \frac{\sqrt{6}}{2} \) см.

б) При \( n = 4 \)
Мы знаем, что сторона квадрата равна \(3\sqrt{6}\) см. Подставим значения в формулу:

\[ r = \frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot \tan \left(\frac{\pi}{4}\right)} \]

Вычислим значение тангенса угла \( \frac{\pi}{4} \):
\( \tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \)

Подставим значения и рассчитаем радиус:
\[ r = \frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot 1} = \frac{3\sqrt{6}}{2} \]

Ответ: радиус вписанной окружности для квадрата равен \( \frac{3\sqrt{6}}{2} \) см.

в) При \( n = 6 \)
Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна \(3\sqrt{6}\) см. Подставим значения в формулу:

\[ r = \frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot \tan \left(\frac{\pi}{6}\right)} \]

Вычислим значение тангенса угла \( \frac{\pi}{6} \):
\( \tan \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

Подставим значения и рассчитаем радиус:
\[ r = \frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{3\sqrt{6}\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2} \]

Ответ: радиус вписанной окружности для правильного шестиугольника равен \( \frac{9\sqrt{2}}{2} \) см.

г) При \( n = 18 \)
В данном случае у нас будет правильный 18-угольник, и его сторона также равна \(3\sqrt{6}\) см. Подставим значения в формулу:

\[ r = \frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot \tan \left(\frac{\pi}{18}\right)} \]

Вычислим значение тангенса угла \( \frac{\pi}{18} \) с помощью калькулятора или программы:

\[ \tan \left(\frac{\pi}{18}\right) \approx 0.32492 \]

Подставим значения и рассчитаем радиус:
\[ r \approx \frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot 0.32492} \approx \frac{9\sqrt{6}}{0.64984} \approx 13.847 \]

Ответ: радиус вписанной окружности для правильного 18-угольника примерно равен 13.847 см.

Итак, мы нашли значения радиусов вписанных окружностей для трех разных n-угольников:
а) ребро треугольника: \( \frac{\sqrt{6}}{2} \) см
б) ребро квадрата: \( \frac{3\sqrt{6}}{2} \) см
в) ребро шестиугольника: \( \frac{9\sqrt{2}}{2} \) см
г) ребро 18-угольника: примерно 13.847 см

Надеюсь, что объяснение было понятным и помогло вам разобраться с задачей. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задавайте!