Як зміниться частота коливань математичного маятника при збільшенні амплітуди коливань на k разів? -зміниться

При збільшенні амплітуди коливань математичного маятника на \(k\) разів, частота коливань зміниться у \(\sqrt{k}\) разів.

Давайте розглянемо це більш детально.

Частота коливань математичного маятника визначається формулою:

\[f = \frac{1}{T}\]

де \(f\) - частота коливань, а \(T\) - період коливань.

Період коливань можна визначити як час, за який маятник здійснює одне повне коливання.

Згідно до формули періоду:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\]

де \(L\) - довжина маятника, \(g\) - прискорення вільного падіння.

Тепер розглянемо, як зміниться період коливань при збільшенні амплітуди коливань на \(k\) разів.

Зауважимо, що амплітуда коливань впливає на довжину маятника. Амплітуда - це відстань від найвищої точки коливань до положення рівноваги (нульового положення).

Нехай \(L_1\) - початкова довжина маятника, \(L_2\) - нова довжина маятника після збільшення амплітуди на \(k\) разів.

При збільшенні амплітуди коливань на \(k\) разів, нова довжина маятника буде дорівнювати старій довжині, помноженій на \(k\). Тобто:

\[L_2 = k \cdot L_1\]

Підставимо це значення в формулу для періоду коливань:

\[T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{L_2}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{k \cdot L_1}{g}}\]

За формулою для початкового періоду коливань:

\[T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{L_1}{g}}\]

Отримуємо вираз для відношення нового періоду коливань до початкового:

\[\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{k \cdot L_1}{g}}}{2\pi\sqrt{\frac{L_1}{g}}} = \frac{\sqrt{k \cdot L_1}}{\sqrt{L_1}} = \sqrt{k}\]

Отже, частота коливань залежить від періоду обернено пропорційно:

\[f_2 = \frac{1}{T_2} = \frac{1}{T_1} \cdot \frac{T_1}{T_2} = f_1 \cdot \sqrt{k}\]

Де \(f_1\) - початкова частота коливань, а \(f_2\) - нова частота коливань.

Таким чином, частота коливань математичного маятника зміниться у \(\sqrt{k}\) разів при збільшенні амплітуди коливань на \(k\) разів.

Відповідь: зміниться у \(\sqrt{k}\) разів.