What statements are true about the triangle ABC with the heights AF and CE and O as the point of intersection

Для решения этой задачи нам потребуется знание некоторых свойств высот треугольника. Давайте рассмотрим каждый заявленный факт по очереди.

1) △EBC∼△FBA.
Это утверждение верно. Вспомним, что высоты треугольника делят его на три маленьких треугольника. По свойству подобных треугольников, если две пары углов в треугольниках равны, то эти треугольники подобны.
В нашем случае, так как AF и CE — высоты треугольника ABC, то ∠EBC и ∠FBA — прямые углы. Также угол E и угол F являются прямыми углами, так как EF — прямая, соединяющая точки пересечения высот с вершиной треугольника.
Следовательно, треугольники △EBC и △FBA подобны.

2) △AFC∼△CEA.
Это утверждение также верно. Рассмотрим те же аргументы, что и ранее. Так как AF и CE являются высотами треугольника ABC, то ∠AFC и ∠CEA также являются прямыми углами.
Кроме того, угол A и угол C также являются прямыми углами, так как AC — прямая, соединяющая точки пересечения высот с вершиной треугольника.
Следовательно, треугольники △AFC и △CEA подобны.

3) △ABC∼△AOC.
Это утверждение верно. Обратимся к факту, что у каждого треугольника его высота является перпендикуляром к основанию, проходящим через вершину треугольника. Мы знаем, что AF и CE являются высотами треугольника ABC, поэтому они перпендикулярны основанию BC и проходят через вершину A.
Точка пересечения этих высот O также должна лежать на прямой AO.
Таким образом, треугольники △ABC и △AOC подобны.

4) △AEO∼△CFO.
Это утверждение также верно. Рассмотрим треугольник AEO. Вспомним, что высота треугольника является перпендикуляром к основанию, проходящим через вершину треугольника. Высота AE перпендикулярна основанию BC и проходит через вершину A.
Аналогично, высота CF перпендикулярна основанию AB и проходит через вершину C.
Так как EF — прямая, проходящая через точку пересечения этих высот O, а O является серединой высоты AE, то треугольники △AEO и △CFO подобны.

Итак, все четыре предложения являются истинными. Для каждого утверждения мы дали пояснение, описав свойства высот треугольника и используя их для объяснения подобия треугольников.