What is the second derivative of y with respect to x plus 4 times y equals

Question

Математика: What is the second derivative of y with respect to x plus 4 times y equals 8 multiplied by the cotangent of 2x? Given that y is equal to 5 when x is equal to pi/4 and y is equal to 4 when x is equal

Pauk · Accepted Answer

Давайте решим задачу. У нас дано уравнение, включающее функцию

y

и её производные по

x

. Нам нужно найти вторую производную функции

y

по

x

при условии, что

y

равно 5 при

x = \frac{π}{4}

и

y

равно 4 при

x = \frac{π}{4}

.

Первым шагом нам нужно найти первую производную от функции

y

по

x

. Для этого применим правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования произведения. Давайте проделаем это:

\frac{d}{d x} (y) + 4 \frac{d}{d x} (y) = 8 \cot (2 x)

Теперь применим правило дифференцирования функции cotangent:

\frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} = 8 \cot (2 x)

Объединим подобные слагаемые:

5 \frac{d y}{d x} = 8 \cot (2 x)

Теперь нам нужно найти вторую производную функции

y

по

x

. Для этого продифференцируем полученное уравнение по

x

. Поскольку

y

зависит от

x

, мы используем правило дифференцирования произведения:

\frac{d}{d x} (5 \frac{d y}{d x}) = \frac{d}{d x} (8 \cot (2 x))

Теперь применим правило дифференцирования произведения и правило дифференцирования функции cotangent:

5 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 16 \csc^{2} (2 x) \cdot 2

Упростим правую часть:

5 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 32 \csc^{2} (2 x)

Итак, мы получили уравнение для второй производной функции

y

по

x

. Теперь осталось только решить это уравнение, используя начальные условия

y = 5

при

x = \frac{π}{4}

и

y = 4

при

x = \frac{π}{4}

.

Обратите внимание, что нам даны разные значения функции

y

при одном и том же значении

x

, что противоречит задаче. Пожалуйста, укажите точные значения

y

для каждого из значения

x

, чтобы я мог дать полное решение.

What is the second derivative of y with respect to x plus 4 times y equals 8 multiplied by the cotangent of 2x? Given

Pauk

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!