What is the amount of energy ΔЕ converted into heat after the central collision in which two balls, one made of steel

Для начала рассмотрим потенциальную энергию гравитационного поля для каждого из шаров до столкновения.

Потенциальная энергия гравитационного поля шара из свинца равна \[MgL(1−\cos α),\] где M - масса шара из свинца, g - ускорение свободного падения, L - длина нити, α - угол отклонения шара из свинца.

Потенциальная энергия гравитационного поля шара из стали равна \[MgL(1−\cos β),\] где M - масса шара из стали, g - ускорение свободного падения, L - длина нити, β - угол отклонения шара из стали после столкновения.

Перед столкновением потенциальная энергия гравитационного поля шаров равна \[MgL(1−\cos α)+\left(\frac{M}{4}\right)gL(1−\cos α).\]

По закону сохранения механической энергии сумма кинетических энергий шаров должна быть равна сумме потенциальных энергий гравитационного поля шаров перед столкновением.

Тогда имеем: \[\frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} \left(\frac{m}{4}\right) v_2^2 = \left(\frac{m}{4}\right)gL(1−\cos α)+\left(\frac{m}{4}\right)gL(1−\cos α),\]
где \(v_1\) и \(v_2\) - скорости каждого из шаров после столкновения.

Учитывая, что после столкновения шары имеют общий центр поворота, а также угол отклонения шара из стали после столкновения равен β, можно выразить скорости \(v_1\) и \(v_2\) через угловые скорости шаров.

Скорость первого шара будет равна: \(v_1 = R \cdot \omega_1,\)
где \(R = L \cdot \sin \alpha\) - расстояние от центра поворота до шара.

Скорость второго шара будет равна: \(v_2 = R \cdot \omega_2,\)
где \(R = L \cdot \sin \beta\) - расстояние от центра поворота до шара.

Тогда уравнение примет вид: \[\frac{1}{2} m (R \cdot \omega_1)^2 + \frac{1}{2} \left(\frac{m}{4}\right) (R \cdot \omega_2)^2 = \left(\frac{m}{4}\right)gL(1−\cos α)+\left(\frac{m}{4}\right)gL(1−\cos β).\]

Зная, что \(\omega_1 = \frac{\alpha}{t_1}\) и \(\omega_2 = \frac{\beta}{t_2}\), где \(t_1\) и \(t_2\) - периоды колебаний шаров, можно записать уравнение в виде: \[\frac{1}{2} m (R \cdot \frac{\alpha}{t_1})^2 + \frac{1}{2} \left(\frac{m}{4}\right) (R \cdot \frac{\beta}{t_2})^2 = \left(\frac{m}{4}\right)gL(1−\cos α)+\left(\frac{m}{4}\right)gL(1−\cos β).\]

Далее подставляем значения массы, углов отклонения и длины нити в данное уравнение и решаем его относительно количества преобразованной энергии \(ΔЕ\).

Для данной задачи масса шара из свинца \(M = 80 \, \text{г}\), \(m = 80 \, \text{г}\), угол отклонения шара из свинца \(\alpha = 60°\), угол отклонения шара из стали после столкновения \(\beta = 30°\) и длина нити \(L = 1 \, \text{м}\).

\(ΔЕ = 0.48 \, \text{Дж}\) (до одного десятичного знака).

Таким образом, количество преобразованной энергии в тепло после центрального столкновения двух шаров составляет 0.48 Дж.