Выберите правильное утверждение о треугольнике ABC с длинами сторон AB = 26, BC = 28 и AC = 34: 1) Длина одной из высот

Для того чтобы найти длины высот треугольника ABC, нам потребуется использовать формулу для высоты, выраженную через стороны треугольника. Формула гласит:

\[h_a = \frac{2}{a} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]

где \(\displaystyle s\) - полупериметр треугольника, а \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) - длины сторон треугольника.

Высоты треугольника проходят через вершины и перпендикулярны соответствующим сторонам. Поскольку зная длины сторон треугольника, мы можем найти полупериметр:

\[s = \frac{AB + BC + AC}{2}\]
\[s = \frac{26 + 28 + 34}{2}\]
\[s = \frac{88}{2}\]
\[s = 44\]

Теперь, чтобы найти длину высоты \(\displaystyle h_a\), соответствующую стороне \(\displaystyle AC\), мы можем использовать формулу:

\[h_a = \frac{2}{AC} \sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-AC)}\]
\[h_a = \frac{2}{34} \sqrt{44(44-26)(44-28)(44-34)}\]
\[h_a = \frac{2}{34} \sqrt{44(18)(16)(10)}\]
\[h_a = \frac{2}{34} \sqrt{18^2 \times 16 \times 10}\]
\[h_a = \frac{2}{34} \times 18 \times \sqrt{16 \times 10}\]
\[h_a = \frac{36}{34} \times 18 \times 4 \sqrt{10}\]
\[h_a = \frac{18}{17} \times 18 \times 4 \sqrt{10}\]
\[h_a = \frac{18}{17} \times 72 \sqrt{10}\]

Высота \(\displaystyle h_a\) треугольника ABC, соответствующая стороне \(\displaystyle AC\), составляет \(\displaystyle \frac{18}{17} \times 72 \sqrt{10}\).
Когда мы примерно подсчитаем это значение, мы увидим, что оно не является целым числом.

Теперь повторим процедуру для остальных сторон треугольника, чтобы проверить каждое утверждение:

1) Указанная длина высоты, 21, не соответствует ни одной из длин высот треугольника ABC.

2) Указанная длина высоты, 22, также не соответствует ни одной из длин высот треугольника ABC.

3) Утверждение «Ни одна из высот этого треугольника не имеет длины, выраженной целым числом» является верным, исходя из наших вычислений.

Таким образом, правильное утверждение из предложенных в задаче - 3) Ни одна из высот этого треугольника не имеет длины, выраженной целым числом.