Вставте три числа між 625 і 16 таким чином, щоб разом з цими числами вони утворювали геометричну прогресію. Запишіть

Для решения данной задачи необходимо найти три числа, которые при вставке в последовательность между числами 625 и 16 будут образовывать геометрическую прогрессию.

Пусть первое число, предшествующее 625, будет равно \(a\), а шаг прогрессии (отношение между соседними членами прогрессии) равен \(r\).

Тогда данная задача сводится к нахождению трех чисел \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), таких что:

\[a, a_1, 625, a_2, a_3, 16\]

образуют геометрическую прогрессию.

Мы знаем, что геометрическая прогрессия имеет вид:

\[a, ar, ar^2, ar^3, \ldots\]

Поэтому, для нахождения трех чисел между 625 и 16, нужно найти начальное число \(a\) и шаг прогрессии \(r\).

Так как числа 625 и 16 находятся в геометрической прогрессии, то отношение между этими числами должно быть постоянным:

\[\frac{625}{16} = \frac{a}{ar^3}\]

Упрощая полученное уравнение, получаем:

\[\frac{625}{16} = \frac{1}{r^3}\]

Для решения этого уравнения возьмем кубический корень от обеих сторон:

\[\sqrt[3]{\frac{625}{16}} = \frac{1}{r}\]

\[\frac{5}{2} = \frac{1}{r}\]

Теперь, найдя значение \(r\), можно определить значение \(a\). Для этого подставим найденное значение \(r\) в любое из представленных уравнений:

\[a = ar^3\]

\[a = \frac{5}{2}a^3\]

Решим это уравнение:

\[\frac{5}{2} = a^2\]

\[\sqrt{\frac{5}{2}} = a\]

Таким образом, первое число, предшествующее 625, равно:

\[a = \sqrt{\frac{5}{2}}\]

Шаг прогрессии равен:

\[r = \frac{2}{5}\]

Теперь мы можем найти три числа, которые вместе с числами 625 и 16 образуют геометрическую прогрессию:

\[a_1 = a \cdot r = \sqrt{\frac{5}{2}} \cdot \frac{2}{5} = \sqrt{\frac{1}{2}}\]

\[a_2 = a \cdot r^2 = \sqrt{\frac{5}{2}} \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \sqrt{\frac{1}{10}}\]

\[a_3 = a \cdot r^3 = \sqrt{\frac{5}{2}} \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \sqrt{\frac{1}{50}}\]

Таким образом, геометрическая прогрессия, состоящая из трех чисел, вставленных между 625 и 16, будет иметь вид:

\[\sqrt{\frac{1}{2}}, \sqrt{\frac{1}{10}}, \sqrt{\frac{1}{50}}, 625, \sqrt{\frac{5}{2}}, 16\]