Воспользуйтесь принципом математической индукции, чтобы показать, что для любого натурального значения значение

Конечно! Для решения данной задачи мы воспользуемся принципом математической индукции. Принцип индукции состоит в следующем: если мы докажем, что утверждение верно при некотором начальном значении (обычно при n = 1) и докажем, что если оно выполняется для некоторого n, то оно выполняется и для следующего значения n+1, то мы можем сделать вывод, что утверждение верно для всех натуральных значений n.

1. Базовый случай (n = 1):
Подставляем n = 1 в выражение 5^n+3 + 11^3n+1:
5^1+3 + 11^3×1+1 = 5^4 + 11^4 = 625 + 14,641 = 15,266
Видим, что 15,266 делится нацело на 15, т.к. 15,266 = 15 × 1,017. Таким образом, базовый случай выполняется.

2. Предположение индукции:
Предположим, что для некоторого произвольного значения n, выражение 5^n+3 + 11^3n+1 делится нацело на 15.

3. Шаг индукции:
Докажем, что если предположение индукции выполняется для некоторого значения n, то оно выполняется и для следующего значения n+1.

Подставим n+1 в выражение 5^n+3 + 11^3n+1:
5^(n+1)+3 + 11^3(n+1)+1 = 5^n×5^1+3 + 11^3n+3×11^1+1 = 5 × 5^n+3 + 11^3n+3 × 11^2 = (5 × 5^n+3) + (11^3n+1 × 11^2)

Так как мы предположили, что значение 5^n+3 + 11^3n+1 делится нацело на 15, то последнее выражение можно записать как:
(5 × 5^n+3) + (11^3n+1 × 11^2) = 5 × (5^n+3) + 11^3n+1 × 11^2 = 5k + (11^3n+1 × 11^2),

где k - некоторое целое число.

Мы видим, что (11^3n+1 × 11^2) также делится на 15, т.к. 11^3n+1 × 11^2 = 11^(3n+2) = (11 × 1,331)^(3n+1) = 14,641 × (11 × 1,023)^(3n+1).

Таким образом, у нас есть два слагаемых, каждое из которых делится на 15. Значит, их сумма также делится на 15.

Таким образом, по принципу математической индукции мы показали, что выражение 5^n+3 + 11^3n+1 делится нацело на 15 для любого натурального значения n.