Вопрос: Каков угол между плоскостью ABC и плоскостью NMC?

Для определения угла между двумя плоскостями необходимо найти угол между их нормалями. Нормаль к плоскости - это вектор, перпендикулярный плоскости и указывающий в её "внутрь".

Итак, в данной задаче нам даны плоскость ABC и плоскость NMC, и нам нужно найти угол между ними. Для этого сначала найдем нормали к каждой плоскости.

Плоскость ABC задана тремя точками: A, B и C. Векторы, идущие из точки A к точкам B и C, лежат в плоскости ABC:

\[
\overrightarrow{{AB}} = \left( B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z \right)
\]
\[
\overrightarrow{{AC}} = \left( C_x - A_x, C_y - A_y, C_z - A_z \right)
\]

Теперь найдем векторное произведение векторов \(\overrightarrow{{AB}}\) и \(\overrightarrow{{AC}}\) для получения нормали \( \mathbf{n}_1 \) плоскости ABC:

\[
\mathbf{n}_1 = \overrightarrow{{AB}} \times \overrightarrow{{AC}}
\]

Аналогично, для плоскости NMC с тремя заданными точками N, M и C, найдем нормаль \(\mathbf{n}_2\):

\[
\overrightarrow{{NM}} = \left( M_x - N_x, M_y - N_y, M_z - N_z \right)
\]
\[
\overrightarrow{{NC}} = \left( C_x - N_x, C_y - N_y, C_z - N_z \right)
\]
\[
\mathbf{n}_2 = \overrightarrow{{NM}} \times \overrightarrow{{NC}}
\]

Теперь у нас есть две нормали \(\mathbf{n}_1\) и \(\mathbf{n}_2\). Чтобы найти угол между ними, воспользуемся формулой для косинуса угла между двумя векторами:

\[
\cos \theta = \frac{{\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2}}{{|\mathbf{n}_1| \cdot |\mathbf{n}_2|}}
\]

Где \(\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2\) обозначает скалярное произведение нормалей, а \(|\mathbf{n}_1|\) и \(|\mathbf{n}_2|\) - длины соответствующих нормалей.

Подставим найденные значения и вычислим угол \(\theta\).