Во сколько раз площадь поверхности первого куба превышает площадь поверхности второго куба, если объем первого куба

Давайте начнем с определения объема и площади поверхности куба. Объем куба определяется как длина ребра в кубе возводится в куб, то есть \(V = a^3\), где \(a\) - длина ребра.

Площадь поверхности куба вычисляется как шесть раз квадрат длины ребра, то есть \(S = 6a^2\).

В данной задаче у нас есть два куба. Обозначим длину ребра первого куба как \(a_1\) и его объем как \(V_1\), а длину ребра второго куба как \(a_2\) и его объем как \(V_2\).

Условие говорит нам, что объем первого куба в 8 раз больше объема второго куба, то есть \(V_1 = 8V_2\).

Нам нужно выразить площади поверхности этих кубов через их объемы. Для этого мы можем использовать ранее указанные формулы.

Для первого куба: \(S_1 = 6(a_1)^2\) и \(V_1 = (a_1)^3\).

Для второго куба: \(S_2 = 6(a_2)^2\) и \(V_2 = (a_2)^3\).

Теперь мы можем подставить выражение для объема первого куба в формулу для площади поверхности первого куба: \(S_1 = 6(8V_2)^{\frac{2}{3}}\).

Преобразуем это уравнение:

\[S_1 = 6(8V_2)^{\frac{2}{3}} = 6 \cdot 8^{\frac{2}{3}} \cdot (V_2)^{\frac{2}{3}} = 6 \cdot 2 \cdot 2 \cdot (V_2)^{\frac{2}{3}} = 24 \cdot (V_2)^{\frac{2}{3}}\].

Теперь мы можем составить выражение для отношения площадей поверхностей двух кубов:

\(\frac{S_1}{S_2} = \frac{24 \cdot (V_2)^{\frac{2}{3}}}{6(a_2)^2}\).

Сокращаем общий множитель:

\(\frac{S_1}{S_2} = \frac{4 \cdot (V_2)^{\frac{2}{3}}}{(a_2)^2}\).

Используем уравнение \(V_1 = 8V_2\) для подстановки в выражение:

\(\frac{S_1}{S_2} = \frac{4 \cdot (V_2)^{\frac{2}{3}}}{(a_2)^2} = \frac{4 \cdot (8V_2)^{\frac{2}{3}}}{(a_2)^2} = \frac{4 \cdot (8 \cdot (a_2)^3)^{\frac{2}{3}}}{(a_2)^2}\).

Упрощаем:

\(\frac{S_1}{S_2} = \frac{4 \cdot 8^{\frac{2}{3}} \cdot (a_2)^2}{(a_2)^2} = 4 \cdot 8^{\frac{2}{3}} = 4 \cdot 4 = 16\).

Таким образом, площадь поверхности первого куба превышает площадь поверхности второго куба в 16 раз.