Владелец монопольной компании папа и сын стремится максимизировать свою прибыль от производства товара. У него есть

Для решения данной задачи, нам необходимо следовать определенной последовательности шагов.

Шаг 1: Найти функцию спроса
У нас есть функция спроса qd = 160 - 0.5p, где qd - количество товара в тысячах единиц, а p - цена товара в рублях.

Шаг 2: Найти эластичность спроса
Согласно условию, эластичность спроса равна -1. Для нахождения эластичности спроса, мы можем использовать формулу:
\[E = \frac{\frac{\Delta qd}{qd}}{\frac{\Delta p}{p}}\]
где E - эластичность спроса, \(\Delta qd\) - изменение количества товара, \(\Delta p\) - изменение цены товара.

Зная, что эластичность спроса равна -1, мы можем записать уравнение:
\(-1 = \frac{\frac{\Delta qd}{qd}}{\frac{\Delta p}{p}}\)

Шаг 3: Найти оптимальную цену
Мы знаем, что оптимальная цена будет такой, чтобы эластичность спроса была равна -1. Поэтому мы можем использовать это соотношение, чтобы найти p.

\(-1 = \frac{\frac{\Delta qd}{qd}}{\frac{\Delta p}{p}}\)

Так как \(\Delta qd\) и qd относятся к изменению исходных данных о спросе, мы можем заменить их на соответствующие значения:
\(-1 = \frac{-0.5}{\frac{\Delta p}{p}}\)

Упрощая уравнение, мы получаем:
\(-1 = -0.5 \cdot \frac{p}{\Delta p}\)

Замечаем, что знаки "-" сокращаются, и мы можем решить это уравнение относительно p:
\(1 = 0.5 \cdot \frac{p}{\Delta p}\)

Раскрывая скобки, получаем:
\(\Delta p = 0.5p\)

Это означает, что оптимальная цена p будет такой, чтобы изменение цены \(\Delta p\) было половиной от самой цены p.

Известно, что переменные затраты компании составляют vc = 20q + q^2, где q - производимое количество товара в тысячах единиц, а vc - переменные затраты в рублях.

Шаг 4: Найти переменные затраты в зависимости от оптимального количества товара
Так как мы знаем, что оптимальная цена равна p и эластичность спроса равна -1, мы можем использовать это значение p, чтобы найти оптимальное количество товара q.

Из уравнения функции спроса qd = 160 - 0.5p, мы можем выразить p через qd:
\(p = 320 - 2qd\)

Теперь мы можем использовать это уравнение, чтобы выразить p через q и заменить его в уравнении переменных затрат:
\(vc = 20q + q^2\)

Подставляя выражение для p, получаем:
\(vc = 20q + q^2\)

Шаг 5: Максимизация прибыли
Для максимизации прибыли, владелец компании должен минимизировать переменные затраты и максимизировать выручку. Прибыль определяется как разница между выручкой и переменными затратами:
\(Profit = Revenue - vc\)

Мы знаем, что выручка определяется как произведение оптимального количества товара q на оптимальную цену p:
\(Revenue = q \cdot p\)

Подставляя значения для p и q, мы получаем:
\(Revenue = q \cdot (320 - 2qd)\)

Теперь мы можем выразить прибыль и раскрыть скобки:
\(Profit = Revenue - vc = q \cdot (320 - 2qd) - (20q + q^2)\)

Упрощаем это уравнение:
\(Profit = 320q - 2q^2d - 20q - q^2\)

Нам нужно найти максимальное значение прибыли, поэтому мы можем взять производную от этого уравнения, чтобы найти точку экстремума:
\(\frac{d(Profit)}{dq} = 320 - 4qd - 20 - 2q = 0\)

Упрощая это уравнение, получаем:
\(-4qd - 2q + 300 = 0\)

\(-2q(2d + 1) + 300 = 0\)

Отсюда получаем:
\(-2q(2d + 1) = -300\)

\(q(2d + 1) = 150\)

\(q = \frac{150}{2d + 1}\)

Итак, мы получили оптимальное количество товара q в зависимости от d. То есть, владелец компании должен производить q тысяч единиц товара, чтобы максимизировать свою прибыль.

Это подробное пошаговое решение позволит школьнику понять, как было получено оптимальное количество товара и как его выбор повлияет на прибыль компании.