Ва. Найти скалярное произведение векторов в следующих случаях: а) для единичного куба ABCDA,B,CD, (рис. 22.4)

Хорошо, давайте решим задачу по нахождению скалярного произведения векторов в каждом из предложенных случаев:

а) Для единичного куба ABCDA,B,CD, нам нужно найти скалярное произведение векторов AC и BD.

Сначала найдем координаты векторов AC и BD.
Вектор AC: \(AC = C - A\)
Координаты точки C: (1, 0, 0)
Координаты точки A: (0, 0, 0)
Тогда координаты вектора AC: (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0)

Вектор BD: \(BD = D - B\)
Координаты точки D: (1, 1, 1)
Координаты точки B: (0, 1, 1)
Тогда координаты вектора BD: (1, 1, 1) - (0, 1, 1) = (1, 0, 0)

Теперь, используя формулу скалярного произведения векторов \( \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y + u_z \cdot v_z \), мы можем вычислить скалярное произведение векторов AC и BD:

\(\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (1 \cdot 1) + (0 \cdot 0) + (0 \cdot 0) = 1\)

Ответ: Скалярное произведение векторов AC и BD равно 1.

б) Теперь рассмотрим скалярное произведение векторов AB и BC.

Вектор AB: \(AB = B - A\)
Координаты точки B: (0, 1, 1)
Координаты точки A: (0, 0, 0)
Тогда координаты вектора AB: (0, 1, 1) - (0, 0, 0) = (0, 1, 1)

Вектор BC: \(BC = C - B\)
Координаты точки C: (1, 0, 0)
Координаты точки B: (0, 1, 1)
Тогда координаты вектора BC: (1, 0, 0) - (0, 1, 1) = (1, -1, -1)

Используя формулу скалярного произведения векторов, найдем скалярное произведение векторов AB и BC:

\(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (0 \cdot 1) + (1 \cdot -1) + (1 \cdot -1) = 0 - 1 - 1 = -2\)

Ответ: Скалярное произведение векторов AB и BC равно -2.

в) Найдем скалярное произведение векторов АВ.

Вектор АВ: \(AB = B - A\)
Координаты точки B: (0, 1, 1)
Координаты точки A: (0, 0, 0)
Тогда координаты вектора AB: (0, 1, 1) - (0, 0, 0) = (0, 1, 1)

Используя формулу скалярного произведения векторов, найдем скалярное произведение векторов АВ:

\(\vec{AB} \cdot \vec{AB} = (0 \cdot 0) + (1 \cdot 1) + (1 \cdot 1) = 0 + 1 + 1 = 2\)

Ответ: Скалярное произведение векторов АВ равно 2.

Таким образом, мы нашли скалярное произведение векторов для каждого из предложенных случаев.