В треугольнике ABC, где AB=3, AC=√14, BC=5, вам нужно найти косинус угла, длину медианы CM и площадь треугольника

Решим данную задачу поэтапно:

1. Найдем косинус угла ABC:
Косинус угла ABC может быть найден с помощью Косинусной теоремы. Данная теорема гласит, что для любого треугольника с сторонами a, b и c и углом между сторонами a и b (противолежащий стороне c), косинус этого угла определяется следующим образом:
\[\cos(ABC) = \frac{{a^2 + b^2 - c^2}}{{2ab}}\]

В данном случае, стороны треугольника ABC равны: AB = 3, AC = √14 и BC = 5. Применяя формулу, получим:
\[\cos(ABC) = \frac{{3^2 + (√14)^2 - 5^2}}{{2\cdot 3 \cdot √14}}\]

Для упрощения решения, вычислим числитель:
\[3^2 + (√14)^2 - 5^2 = 9 + 14 - 25 = 23 - 25 = -2\]
Заметим, что числитель отрицательный.

Теперь, подставим значения числителя и знаменателя в формулу и найдем косинус угла ABC:
\[\cos(ABC) = \frac{{-2}}{{2 \cdot 3 \cdot √14}} = -\frac{1}{{3√14}}\]

Таким образом, косинус угла ABC равен \(-\frac{1}{{3√14}}\).

2. Найдем длину медианы CM:
Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для нахождения длины медианы CM, мы можем использовать формулу медианы треугольника, которая связывает медиану с длинами сторон треугольника:
\[CM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}\]

Подставим значения сторон треугольника ABC в формулу:
\[CM = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 3^2 + 2 \cdot (√14)^2 - 5^2}\]

Вычислим числитель:
\[2 \cdot 3^2 + 2 \cdot (√14)^2 - 5^2 = 2 \cdot 9 + 2 \cdot 14 - 25 = 18 + 28 - 25 = 21\]

Теперь, подставим значение числителя в формулу и найдем длину медианы CM:
\[CM = \frac{1}{2} \sqrt{21} = \frac{1}{2} √21\]

Таким образом, длина медианы CM равна \(\frac{1}{2} √21\).

3. Найдем площадь треугольника:
Площадь треугольника может быть найдена с помощью формулы Герона, которая использует длины сторон треугольника:
\[S = √(p(p - AB)(p - AC)(p - BC))\]
где \(p\) - полупериметр треугольника, определяемый как \(p = \frac{{AB + AC + BC}}{2}\).

Подставим значения сторон треугольника ABC в формулу:

\[p = \frac{{3 + (√14) + 5}}{2} = \frac{{8 + (√14)}}{2} = 4 + \frac{√14}{2}\]

Теперь, вычислим площадь треугольника, подставив значение полупериметра в формулу:
\[S = √(p(p - AB)(p - AC)(p - BC)) = √((4 + \frac{√14}{2})(4 + \frac{√14}{2} - 3)(4 + \frac{√14}{2} - (√14))(4 + \frac{√14}{2} - 5))\]

Упростим числитель:
\[(4 + \frac{√14}{2})(4 + \frac{√14}{2} - 3)(4 + \frac{√14}{2} - (√14))(4 + \frac{√14}{2} - 5) = (4 + \frac{√14}{2})(1 + \frac{√14}{2})(4 - \frac{√14}{2})(-1 + \frac{√14}{2})\]
\[= \frac{1}{4}(16 - 7 + √14)\left(\frac{7 + √14}{2}\right)\]

Теперь, подставим значение числителя в формулу и найдем площадь треугольника:
\[S = √(16 - 7 + √14)\left(\frac{7 + √14}{2}\right) = \frac{1}{4} √(16 - 7 + √14)\left(\frac{7 + √14}{2}\right)\]

Таким образом, площадь треугольника равна \(\frac{1}{4} √(16 - 7 + √14)\left(\frac{7 + √14}{2}\right)\).