В шестиугольной пирамиде sabcdef с коренным ребром 2 и боковым ребром 3 точка м делит ребро sd в отношении

на 5.

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о геометрии и тригонометрии. Давайте рассмотрим ее по шагам:

1. Построение шестиугольной пирамиды:
- Мы знаем, что корневое ребро $sd$ равно 2, а боковое ребро $sc$ равно 3. Это означает, что у основания пирамиды $abcdef$ будет шестиугольник.

2. Разделение ребра $sd$ точкой $m$:
- Точка $m$ делит ребро $sd$ в отношении 1:2, измеряемого от вершины $s$. Это означает, что отрезок $sm$ равен $\frac{1}{3}$ от длины $sd$, а отрезок $md$ равен $\frac{2}{3}$ от длины $sd$.

3. Нахождение угла между прямой $bm$ и плоскостью $aec$:
- Для этого нам потребуются знания о тригонометрии и векторах.
- Рассмотрим плоскость $aec$. Она проходит через вершины $a$, $e$ и $c$.
- Вектор, направленный вдоль прямой $bm$, обозначим как $\overrightarrow{v}$. Вектор, принадлежащий плоскости $aec$, обозначим как $\overrightarrow{n}$.
- Угол между векторами $\overrightarrow{v}$ и $\overrightarrow{n}$ можно найти, используя формулу:
$$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}}{\Vert \overrightarrow{v}\Vert \cdot \Vert \overrightarrow{n}\Vert }$$
где $\theta$ - искомый угол, $\cdot$ - скалярное произведение векторов, $\Vert \overrightarrow{v}\Vert$ - длина вектора $\overrightarrow{v}$, $\Vert \overrightarrow{n}\Vert$ - длина вектора $\overrightarrow{n}$.
- Осталось найти векторы $\overrightarrow{v}$ и $\overrightarrow{n}$ для дальнейших расчетов.

4. Нахождение вектора $\overrightarrow{v}$:
- Вектор $\overrightarrow{v}$ проходит через точку $b$ и перпендикулярен плоскости $aec$.
- Первым шагом найдем вектор $\overrightarrow{w}$ в плоскости $aec$, который проходит через точку $b$ и параллелен плоскости $aec$.
- Вектор $\overrightarrow{w}$ можно найти, используя две вершины плоскости $aec$, например, $a$ и $e$:
$$\overrightarrow{w}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{e}$$
- Теперь, чтобы получить вектор $\overrightarrow{v}$, проходящий через точку $b$, необходимо вектор $\overrightarrow{w}$ повернуть на угол, равный искомому углу между $\overrightarrow{v}$ и $\overrightarrow{n}$:
$$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{w}\cdot \cos \theta +(\overrightarrow{w}\times \overrightarrow{n})\cdot \sin \theta$$
где $\times$ - векторное произведение векторов, $\theta$ - угол между $\overrightarrow{v}$ и $\overrightarrow{n}$.

5. Нахождение вектора $\overrightarrow{n}$:
- Вектор $\overrightarrow{n}$ можно найти, используя направляющие векторы плоскости $aec$, которые будут равны: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{e}$ и $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$.
- Вектор $\overrightarrow{n}$ будет равен векторному произведению этих двух направляющих векторов:
$$\overrightarrow{n}=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{e})\times (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})$$

6. Подстановка величин в формулу для нахождения угла:
- Подставим найденные векторы $\overrightarrow{v}$ и $\overrightarrow{n}$ в формулу для нахождения угла:
$$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}}{\Vert \overrightarrow{v}\Vert \cdot \Vert \overrightarrow{n}\Vert }$$
- Подставим значения и рассчитаем угол:
$$\theta =\arccos \left(\frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}}{\Vert \overrightarrow{v}\Vert \cdot \Vert \overrightarrow{n}\Vert }\right)$$

7. Расчет угла:
- Подставим найденные значения в формулу и произведем вычисления:
$$\theta =\arccos \left(\frac{\Vert \overrightarrow{v}\Vert \cdot \Vert \overrightarrow{n}\Vert }{\Vert \overrightarrow{v}\Vert \cdot \Vert \overrightarrow{n}\Vert }\right)$$
$$\theta =\arccos 1$$
$$\theta =0^{\circ }$$

Таким образом, угол, образованный прямой $bm$ и плоскостью $aec$, равен 0 градусов.