В шестиугольной пирамиде sabcdef с коренным ребром 2 и боковым ребром 3 точка м делит ребро sd в отношении

на 5.

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о геометрии и тригонометрии. Давайте рассмотрим ее по шагам:

1. Построение шестиугольной пирамиды:
- Мы знаем, что корневое ребро \(sd\) равно 2, а боковое ребро \(sc\) равно 3. Это означает, что у основания пирамиды \(abcdef\) будет шестиугольник.

2. Разделение ребра \(sd\) точкой \(m\):
- Точка \(m\) делит ребро \(sd\) в отношении 1:2, измеряемого от вершины \(s\). Это означает, что отрезок \(sm\) равен \(\frac{1}{3}\) от длины \(sd\), а отрезок \(md\) равен \(\frac{2}{3}\) от длины \(sd\).

3. Нахождение угла между прямой \(bm\) и плоскостью \(aec\):
- Для этого нам потребуются знания о тригонометрии и векторах.
- Рассмотрим плоскость \(aec\). Она проходит через вершины \(a\), \(e\) и \(c\).
- Вектор, направленный вдоль прямой \(bm\), обозначим как \(\vec{v}\). Вектор, принадлежащий плоскости \(aec\), обозначим как \(\vec{n}\).
- Угол между векторами \(\vec{v}\) и \(\vec{n}\) можно найти, используя формулу:
\[ \cos{\theta} = \frac{{\vec{v} \cdot \vec{n}}}{{\|\vec{v}\| \cdot \|\vec{n}\|}} \]
где \(\theta\) - искомый угол, \(\cdot\) - скалярное произведение векторов, \(\|\vec{v}\|\) - длина вектора \(\vec{v}\), \(\|\vec{n}\|\) - длина вектора \(\vec{n}\).
- Осталось найти векторы \(\vec{v}\) и \(\vec{n}\) для дальнейших расчетов.

4. Нахождение вектора \(\vec{v}\):
- Вектор \(\vec{v}\) проходит через точку \(b\) и перпендикулярен плоскости \(aec\).
- Первым шагом найдем вектор \(\vec{w}\) в плоскости \(aec\), который проходит через точку \(b\) и параллелен плоскости \(aec\).
- Вектор \(\vec{w}\) можно найти, используя две вершины плоскости \(aec\), например, \(a\) и \(e\):
\[ \vec{w} = \vec{a} - \vec{e} \]
- Теперь, чтобы получить вектор \(\vec{v}\), проходящий через точку \(b\), необходимо вектор \(\vec{w}\) повернуть на угол, равный искомому углу между \(\vec{v}\) и \(\vec{n}\):
\[ \vec{v} = \vec{w} \cdot \cos{\theta} + (\vec{w} \times \vec{n}) \cdot \sin{\theta} \]
где \(\times\) - векторное произведение векторов, \(\theta\) - угол между \(\vec{v}\) и \(\vec{n}\).

5. Нахождение вектора \(\vec{n}\):
- Вектор \(\vec{n}\) можно найти, используя направляющие векторы плоскости \(aec\), которые будут равны: \(\vec{a} - \vec{e}\) и \(\vec{a} - \vec{c}\).
- Вектор \(\vec{n}\) будет равен векторному произведению этих двух направляющих векторов:
\[ \vec{n} = (\vec{a} - \vec{e}) \times (\vec{a} - \vec{c}) \]

6. Подстановка величин в формулу для нахождения угла:
- Подставим найденные векторы \(\vec{v}\) и \(\vec{n}\) в формулу для нахождения угла:
\[ \cos{\theta} = \frac{{\vec{v} \cdot \vec{n}}}{{\|\vec{v}\| \cdot \|\vec{n}\|}} \]
- Подставим значения и рассчитаем угол:
\[ \theta = \arccos{\left( \frac{{\vec{v} \cdot \vec{n}}}{{\|\vec{v}\| \cdot \|\vec{n}\|}} \right)} \]

7. Расчет угла:
- Подставим найденные значения в формулу и произведем вычисления:
\[ \theta = \arccos{\left( \frac{{\|\vec{v}\| \cdot \|\vec{n}\|}}{{\|\vec{v}\| \cdot \|\vec{n}\|}} \right)} \]
\[ \theta = \arccos{1} \]
\[ \theta = 0^\circ \]

Таким образом, угол, образованный прямой \(bm\) и плоскостью \(aec\), равен 0 градусов.