Угол наклона наклонной AD к плоскости α равен 30°, а угол наклона наклонной DC к плоскости α равен 45°. Длина

Решение:

Пусть точка \(B\) - точка пересечения наклонных \(AD\) и \(DC\), \(x\) - длина наклонной \(AD\), \(y\) - длина наклонной \(DC\).

Из условия задачи у нас есть следующие данные:
1. Угол наклона наклонной \(AD\) к плоскости \(\alpha\) составляет 30°.
2. Угол наклона наклонной \(DC\) к плоскости \(\alpha\) составляет 45°.
3. Длина перпендикуляра \(DB\) составляет 21 см.

Нам известно, что угол наклона к плоскости равен углу между перпендикуляром и наклонной, так как углы, образованные лучами, проходящими через перпендикуляр и наклонную, обратные друг другу. Из этого следует, что:
\(\angle ABD = 90° - 30° = 60°\),
\(\angle BDC = 90° - 45° = 45°\).

Теперь воспользуемся тригонометрическими функциями для нахождения наклонных \(AD\) и \(DC\).

\[
\tan 60° = \frac{AB}{21} \quad \Rightarrow \quad AB = 21 \cdot \tan 60°
\]
\[
\tan 45° = \frac{AB + BD}{21} \quad \Rightarrow \quad 21 \cdot \tan 45° = 21 \cdot \tan 60° + BD
\]

Подставляем второе уравнение значение \(AB\) из первого уравнения и находим \(BD\):
\[
21 \cdot \tan 45° = 21 \cdot \tan 60° + BD \quad \Rightarrow \quad BD = 21 \cdot \tan 45° - 21 \cdot \tan 60°
\]

Теперь найдем \(x\) и \(y\):
\[
AD = AB \cdot \sec 60° \quad \Rightarrow \quad AD = 21 \cdot \tan 60° \cdot \sec 60°
\]
\[
DC = BD \cdot \sec 45° \quad \Rightarrow \quad DC = (21 \cdot \tan 45° - 21 \cdot \tan 60°) \cdot \sec 45°
\]

После вычислений получаем значения:
1. \( AD = 21 \cdot \tan 60° \cdot \sec 60° = 212\sqrt{10.5} \approx 42.13\sqrt{2} \).
2. \( DC = (21 \cdot \tan 45° - 21 \cdot \tan 60°) \cdot \sec 45° = 10.5 \cdot 212\sqrt{2} \approx 212\sqrt{42} \).

Таким образом, длины наклонных равны:
1. \( AD = 212\sqrt{10.5} \approx 42.13\sqrt{2} \).
2. \( DC = 212\sqrt{42} \).