Участников международной конференции: 3 знают английский, 2 французский и 1 немецкий. Какова вероятность, что среди

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать комбинаторику и вероятность.

У нас есть 3 участника, которые знают английский, 2 участника, которые знают французский и 1 участник, который знает немецкий. Мы хотим узнать вероятность, что среди 6 отобранных участников хотя бы один знает немецкий язык.

Для начала определим общее число способов выбрать 6 участников из всех участников на конференции. Общее число способов выбрать 6 участников можно выразить с помощью формулы сочетаний:

\[{C(n, k)} = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

где \(n\) - общее количество участников, а \(k\) - количество участников, которых мы выбираем.

В нашем случае, общее количество участников (или общее число комбинаций) будет равно \({C(6, 6)}\), так как мы выбираем всех 6 участников. Подставляя значения в формулу, получим:

\[{C(6, 6)} = \frac{{6!}}{{6! \cdot (6-6)!}} = \frac{{6!}}{{6! \cdot 0!}} = 1\]

Теперь мы должны определить, сколько способов выбрать 6 участников, включая хотя бы одного, знающего немецкий язык. Для этого мы посчитаем количество способов выбрать 1 участника, знающего немецкий, из 1 возможного участника.

\[{C(1, 1)} = \frac{{1!}}{{1! \cdot (1-1)!}} = \frac{{1!}}{{1! \cdot 0!}} = 1\]

Кроме того, нам нужно выбрать 5 участников из оставшихся 5-ти участников. Здесь важно, что выбор остается только из тех, кто не знает немецкий (т.е. из остальных 5-ти участников). Мы можем вычислить количество способов выбрать 5 участников, не знающих немецкий язык, из 5 возможных участников.

\[{C(5, 5)} = \frac{{5!}}{{5! \cdot (5-5)!}} = \frac{{5!}}{{5! \cdot 0!}} = 1\]

Теперь мы можем найти количество способов выбрать хотя бы одного участника, знающего немецкий, из 6-ти участников. Для этого мы будем использовать формулу включения-исключения:

\[{C(6, 1)} \cdot {C(5, 5)} = {C(6, 1)} = \frac{{6!}}{{1! \cdot (6-1)!}} = \frac{{6!}}{{1! \cdot 5!}} = \frac{{6!}}{{5!}} = 6\]

Теперь мы можем определить искомую вероятность. Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

\[{P} = \frac{{\text{{число благоприятных исходов}}}}{{\text{{общее число исходов}}}}\]

В нашем случае, число благоприятных исходов равно 6 (количество способов выбрать хотя бы одного участника, знающего немецкий), а общее число исходов равно 1 (общее число способов выбрать 6 участников).

\[{P} = \frac{{6}}{{1}} = 6\]

То есть, вероятность, что среди 6 отобранных участников будет хотя бы один, знающий немецкий язык, равна 6.