The tortoise finds the hare s laughter tiresome, as the hare always mocks its slow speed. Constantly boasting about

на сторону, ошеломленный увиденным.

Задача, рассказанная в тексте, имеет простую моральную и математическую основу. Предписывает нам никогда не недооценивать своих соперников, а также терпение и постоянство всегда будут оказывать влияние на успех.

Давайте разберемся в математической части задачи.

Пусть скорость зайца равна \(V_h\) скорость черепахи равна \(V_t\). Пара данных: зайцу потребуется время \(t\) для пробега расстояния \(L\), черепахе потребуется время \(t"\) для пробега того же расстояния.

Из условия задачи мы знаем, что заяц очень быстрый и начинает на большой скорости, поэтому пробегает определенное расстояние перед тем, как решит расслабиться под деревом. Поэтому пусть заяц пробегает расстояние \(d\) перед тем, как расслабиться.
Таким образом, \(d=V_h \cdot t\).

Черепаха движется на своей постоянной скорости на всем пути. Поэтому расстояние, пройденное черепахой, будет равно \(L-d\) (остаток расстояния после пробега зайца) в течение времени \(t"\). Таким образом, \(L-d=V_t \cdot t"\).

Затем мы узнаем, что черепаха догоняет и превосходит зайца, что означает, что время, затраченное на пробег расстояния \(L\), сокращается до минимума для черепахи. Следовательно, \(t+t"\) минимально и достигается, когда черепаха догоняет зайца.

Чтобы найти это минимальное время, мы можем выразить \(t"\) через \(t\) и \(V_h\) через \(V_t\), используя уравнения \(d=V_h \cdot t\) и \(L-d=V_t \cdot t"\), а затем подставить его в уравнение \(t+t"\). Получим:

\(t+t" = t + \frac{{(L-d)}}{{V_t}} = t + \frac{{L-(V_h \cdot t)}}{{V_t}}\)

Учитывая, что \(L\) и \(V_t\) - константы, нам нужно минимизировать \(t+t"\) по отношению к \(t\). Для этого возьмем производную от \(t+t"\) по \(t\) и приравняем к нулю:

\(\frac{{d(t+t")}}{{dt}} = 1 - \frac{{V_h}}{{V_t}} = 0\)

Отсюда следует, что \(\frac{{V_h}}{{V_t}} = 1\).

Таким образом, когда заяц будет на расстоянии, пропорциональном \(V_t\) и \(V_h\), черепаха догонит и превзойдет его.

Итак, мы можем заключить, что черепаха догонит зайца, когда их скорости пропорциональны друг другу.