Task 1. For a wooden beam (with modulus of elasticity E=1×104MPa) (scheme № 1), the following is required: 1) construct

Задача 1.
Для начала, построим диаграммы сил поперечного среза $Q$ и момента изгиба $M$ для деревянного бруска, используя данные из таблицы 1.

Таблица 1:
$$\begin{array}{|cccccc|}\hline x_i,\text{м}& 0& 2& 4& 6& 8\\ F_i,\text{кН}& 0& 4& 2& 5& 0\\ \hline\end{array}$$

Для начала построим диаграмму силы поперечного среза $Q$.

На рисунке №1 приведена схема задачи.

Рисунок №1. Схема задачи.


Согласно схеме, считаем положительными силы, направленные вниз.

Так как на пролете $0\le x\le 2$ нет никаких сосредоточенных сил, то значение силы поперечного среза постоянно и равно нулю.

Для пролета $2\le x\le 4$ сила $Q$ меняется линейно от нуля до 4 кН. Давайте вычислим значения $Q$ для значений $x=2$ и $x=4$:

Для $x=2$:
$$Q_2=0+\frac{4-0}{4-2}\times (2-2)=0$$

Для $x=4$:
$$Q_4=0+\frac{4-0}{4-2}\times (4-2)=4$$

Теперь построим диаграмму силы поперечного среза $Q$ (рисунок №2), используя полученные значения.

Рисунок №2. Диаграмма силы поперечного среза $Q$.


Теперь перейдем к построению диаграммы момента изгиба $M$.

Сила поперечного среза $Q$ задает изменение момента изгиба $M$ вдоль длины бруска. Момент изгиба в любой точке на бруске определяется суммой всех сил поперечного среза до этой точки.

Для $0\le x\le 2$ момент изгиба равен нулю, так как сила поперечного среза $Q$ равна нулю.

Для $2\le x\le 4$ мы можем использовать следующее соотношение, которое связывает силу поперечного среза $Q$ и момент изгиба $M$:

$$M=\int Qdx$$

Поскольку $Q=4\text{кН}$ является постоянным для заданного промежутка, мы можем выразить момент изгиба $M$ следующим образом:

$$M=4\times (x-2)$$

Теперь построим диаграмму момента изгиба $M$ (рисунок №3), используя полученное выражение для $M$.

Рисунок №3. Диаграмма момента изгиба $M$.


Теперь перейдем к выбору размеров поперечного сечения на основе условий прочности.

Максимальное значение нормального напряжения $R$ определяется по формуле:

$$R=\frac{M}{S}$$

где $S$ - момент пространственного инерции поперечного сечения.

Для расчета значения нормального напряжения $R$ в выбранном предельном сечении бруска мы можем использовать следующую формулу:

$$R=\frac{M}{S}\Rightarrow S=\frac{M}{R}$$

По условию задачи, $R=16\text{МПа}$. Давайте выберем размеры поперечного сечения так, чтобы момент пространственного инерции $S$ был не меньше необходимого значения.

Теперь определим момент инерции необходимого поперечного сечения $S$ для заданного значения максимального напряжения $R$:

$$S=\frac{M}{R}=\frac{M}{16\times {10}^6}=\frac{4\times (x-2)}{16\times {10}^6}$$

Выбирая оптимальное поперечное сечение, будем сравнивать значения моментов инерции, возникающие в различных точках пролета бруска, в соответствии с полученным выражением. Необходимо найти максимальное значение момента инерции, которое будет представлять наибольшую прочность бруска.

Пролет бруска имеет длину 8 метров ($0\le x\le 8$). Вычислим значения $S$ для значений $x=2$ и $x=8$:

Для $x=2$:
$$S_2=\frac{4\times (2-2)}{16\times {10}^6}=0$$

Для $x=8$:
$$S_8=\frac{4\times (8-2)}{16\times {10}^6}=\frac{24}{16\times {10}^6}\approx 1.5\times {10}^{-6}{\text{м}}^4$$

Итак, максимальное значение момента пространственного инерции $S$ составляет приблизительно $1.5\times {10}^{-6}{\text{м}}^4$.

Теперь рассмотрим метод Мора для определения величины и направления угла поворота в правом конце бруска. По этому методу, угол поворота $\theta$ можно найти с помощью следующей формулы:

$$\theta =\frac{M_L\cdot L}{E\cdot I}$$

где $M_L$ - момент изгиба в правом конце бруска, $L$ - длина бруска, $E$ - модуль упругости материала (для деревянного бруска $E=1\times {10}^4\text{МПа}$), $I$ - момент инерции поперечного сечения в правом конце бруска.

В нашем случае, $M_L$ соответствует максимальному значению момента изгиба на пролете ($x=8$), и равен $M_8=4\times (8-2)$.

Теперь мы можем рассчитать значение угла поворота $\theta$:

$$\theta =\frac{M_8\cdot L}{E\cdot I}=\frac{(4\times (8-2))\cdot 8}{1\times {10}^4\cdot S_8}$$

Рассчитаем значение угла поворота $\theta$:

$$\theta =\frac{(4\times 6)\cdot 8}{1\times {10}^4\cdot 1.5\times {10}^{-6}}=\frac{192}{1.5}\times {10}^2\approx 12800\text{рад}$$

Таким образом, величина угла поворота в правом конце бруска составляет примерно $12800\text{рад}$. Отрицательный знак указывает на то, что конец бруска повернулся против часовой стрелки.

Это полный ответ на задачу 1. Построены диаграммы силы поперечного среза $Q$ и диаграмма момента изгиба $M$, выбраны размеры поперечного сечения основываясь на условиях прочности, рассчитана величина и направление угла поворота в правом конце бруска с использованием метода Мора.

Задача 2:
Построение диаграммы силы поперечного среза $Q$ и диаграммы момента изгиба $M$ для стального бруса можно выполнить аналогичным образом, используя данные из таблицы 1, но с другим значением модуля упругости $E=2\times {10}^5\text{МПа}$.

Таким образом, аналогично задаче 1, мы можем вычислить значение силы поперечного среза $Q$ и построить диаграмму силы поперечного среза $Q$, а также вычислить значение момента изгиба $M$ и построить диаграмму момента изгиба $M$ для стального бруса.

Если у вас возникнут вопросы или нужно дополнительное объяснение по какому-либо шагу задачи, пожалуйста, сообщите мне. Я готов помочь вам дальше!