Task 1. For a wooden beam (with modulus of elasticity E=1×104MPa) (scheme № 1), the following is required: 1) construct

Задача 1.
Для начала, построим диаграммы сил поперечного среза \(Q\) и момента изгиба \(M\) для деревянного бруска, используя данные из таблицы 1.

Таблица 1:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i, \text{м} & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\
\hline
F_i, \text{кН} & 0 & 4 & 2 & 5 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]

Для начала построим диаграмму силы поперечного среза \(Q\).

На рисунке №1 приведена схема задачи.

Рисунок №1. Схема задачи.


Согласно схеме, считаем положительными силы, направленные вниз.

Так как на пролете \(0 \leq x \leq 2\) нет никаких сосредоточенных сил, то значение силы поперечного среза постоянно и равно нулю.

Для пролета \(2 \leq x \leq 4\) сила \(Q\) меняется линейно от нуля до 4 кН. Давайте вычислим значения \(Q\) для значений \(x = 2\) и \(x = 4\):

Для \(x = 2\):
\[
Q_2 = 0 + \frac{{4 - 0}}{{4 - 2}} \times (2 - 2) = 0
\]

Для \(x = 4\):
\[
Q_4 = 0 + \frac{{4 - 0}}{{4 - 2}} \times (4 - 2) = 4
\]

Теперь построим диаграмму силы поперечного среза \(Q\) (рисунок №2), используя полученные значения.

Рисунок №2. Диаграмма силы поперечного среза \(Q\).


Теперь перейдем к построению диаграммы момента изгиба \(M\).

Сила поперечного среза \(Q\) задает изменение момента изгиба \(M\) вдоль длины бруска. Момент изгиба в любой точке на бруске определяется суммой всех сил поперечного среза до этой точки.

Для \(0 \leq x \leq 2\) момент изгиба равен нулю, так как сила поперечного среза \(Q\) равна нулю.

Для \(2 \leq x \leq 4\) мы можем использовать следующее соотношение, которое связывает силу поперечного среза \(Q\) и момент изгиба \(M\):

\[
M = \int Q \, dx
\]

Поскольку \(Q = 4\, \text{кН}\) является постоянным для заданного промежутка, мы можем выразить момент изгиба \(M\) следующим образом:

\[
M = 4 \times (x - 2)
\]

Теперь построим диаграмму момента изгиба \(M\) (рисунок №3), используя полученное выражение для \(M\).

Рисунок №3. Диаграмма момента изгиба \(M\).


Теперь перейдем к выбору размеров поперечного сечения на основе условий прочности.

Максимальное значение нормального напряжения \(R\) определяется по формуле:

\[
R = \frac{M}{S}
\]

где \(S\) - момент пространственного инерции поперечного сечения.

Для расчета значения нормального напряжения \(R\) в выбранном предельном сечении бруска мы можем использовать следующую формулу:

\[
R = \frac{M}{S} \Rightarrow S = \frac{M}{R}
\]

По условию задачи, \(R = 16\, \text{МПа}\). Давайте выберем размеры поперечного сечения так, чтобы момент пространственного инерции \(S\) был не меньше необходимого значения.

Теперь определим момент инерции необходимого поперечного сечения \(S\) для заданного значения максимального напряжения \(R\):

\[
S = \frac{M}{R} = \frac{M}{16 \times 10^6} = \frac{4 \times (x - 2)}{16 \times 10^6}
\]

Выбирая оптимальное поперечное сечение, будем сравнивать значения моментов инерции, возникающие в различных точках пролета бруска, в соответствии с полученным выражением. Необходимо найти максимальное значение момента инерции, которое будет представлять наибольшую прочность бруска.

Пролет бруска имеет длину 8 метров (\(0 \leq x \leq 8\)). Вычислим значения \(S\) для значений \(x = 2\) и \(x = 8\):

Для \(x = 2\):
\[
S_2 = \frac{4 \times (2 - 2)}{16 \times 10^6} = 0
\]

Для \(x = 8\):
\[
S_8 = \frac{4 \times (8 - 2)}{16 \times 10^6} = \frac{24}{16 \times 10^6} \approx 1.5 \times 10^{-6} \, \text{м}^4
\]

Итак, максимальное значение момента пространственного инерции \(S\) составляет приблизительно \(1.5 \times 10^{-6} \, \text{м}^4\).

Теперь рассмотрим метод Мора для определения величины и направления угла поворота в правом конце бруска. По этому методу, угол поворота \(\theta\) можно найти с помощью следующей формулы:

\[
\theta = \frac{M_L \cdot L}{E \cdot I}
\]

где \(M_L\) - момент изгиба в правом конце бруска, \(L\) - длина бруска, \(E\) - модуль упругости материала (для деревянного бруска \(E=1 \times 10^4\, \text{МПа}\)), \(I\) - момент инерции поперечного сечения в правом конце бруска.

В нашем случае, \(M_L\) соответствует максимальному значению момента изгиба на пролете (\(x = 8\)), и равен \(M_8 = 4 \times (8 - 2)\).

Теперь мы можем рассчитать значение угла поворота \(\theta\):

\[
\theta = \frac{M_8 \cdot L}{E \cdot I} = \frac{(4 \times (8 - 2)) \cdot 8}{1 \times 10^4 \cdot S_8}
\]

Рассчитаем значение угла поворота \(\theta\):

\[
\theta = \frac{(4 \times 6) \cdot 8}{1 \times 10^4 \cdot 1.5 \times 10^{-6}} = \frac{192}{1.5} \times 10^2 \approx 12800 \, \text{рад}
\]

Таким образом, величина угла поворота в правом конце бруска составляет примерно \(12800 \, \text{рад}\). Отрицательный знак указывает на то, что конец бруска повернулся против часовой стрелки.

Это полный ответ на задачу 1. Построены диаграммы силы поперечного среза \(Q\) и диаграмма момента изгиба \(M\), выбраны размеры поперечного сечения основываясь на условиях прочности, рассчитана величина и направление угла поворота в правом конце бруска с использованием метода Мора.

Задача 2:
Построение диаграммы силы поперечного среза \(Q\) и диаграммы момента изгиба \(M\) для стального бруса можно выполнить аналогичным образом, используя данные из таблицы 1, но с другим значением модуля упругости \(E = 2 \times 10^5 \, \text{МПа}\).

Таким образом, аналогично задаче 1, мы можем вычислить значение силы поперечного среза \(Q\) и построить диаграмму силы поперечного среза \(Q\), а также вычислить значение момента изгиба \(M\) и построить диаграмму момента изгиба \(M\) для стального бруса.

Если у вас возникнут вопросы или нужно дополнительное объяснение по какому-либо шагу задачи, пожалуйста, сообщите мне. Я готов помочь вам дальше!