Спрашиваете о правомерности следующих действий: 1. На детской площадке дети играли. 7-летний Антон ударил палкой

1. В данном случае действия, совершенные матерью Игоря и отцом Антона, являются неправомерными с точки зрения закона.
Сначала рассмотрим действия матери Игоря. Удар ребенка Антона является насилием и противозаконным действием. В соответствии с Конвенцией о правах ребенка, которая является международным договором, насилие в отношении детей категорически запрещено. Поэтому удар матери по мягкому месту Антона является необоснованным и противозаконным.
Далее, ставить ребенка стоять у дерева в качестве наказания, называя это "углом", также является неправомерным действием. Физическое наказание, которое связано с причинением физической боли или оскорбления, не допускается в отношении детей. Вмешательство в воспитание другого ребенка без согласия его родителей также считается неправомерным.
Что касается совета отца Антона, то он также является неправильным с точки зрения закона. Родители не должны советовать другим родителям, как воспитывать их детей, особенно используя унизительные слова или угрозы. Вмешиваться в воспитание чужих детей без разрешения их родителей не имеет законных оснований.
В итоге, какими бы недовольными родители ни были друг с другом, они не имеют права совершать неправомерные действия в отношении детей.

2. Рождение ребенка у Потапова и Поляковой, проживающих в фактическом браке, необходимо для определения их правового статуса и регулирования отношений между ними и ребенком с точки зрения закона. В данном случае, родители, проживающие в фактическом браке, должны обратиться в органы ЗАГСа (записи актов гражданского состояния) для оформления ребенка и установления его отцовства. Таким образом, ребенок получит свидетельство о рождении, в котором ФИО его отца будет указано.
Фактический брак не является юридически оформленным браком, поэтому для защиты прав и интересов родителей и ребенка рекомендуется оформить официальный брак и получить свидетельство о браке, чтобы иметь все юридические гарантии и защиту со стороны государства.
Как только ребенок будет оформлен и получит свидетельство о рождении, его родители будут иметь все права и обязанности, предусмотренные законодательством, включая взаимодействие с медицинскими и образовательными учреждениями, участие в решении вопросов, связанных со здоровьем и образованием ребенка и т.д.