СОР 2. Найдите первые три слагаемых в разложении по формуле бинома при возрастании степени а и запишите коэффициент

Конечно! Давайте начнем с первой задачи.

1) Разложение \((2-a)^6\):

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать формулу бинома Ньютона, которая выглядит следующим образом:

\((a+b)^n = C(n,0) \cdot a^n \cdot b^0 + C(n,1) \cdot a^{n-1} \cdot b^1 + C(n,2) \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + \ldots + C(n,n) \cdot a^0 \cdot b^n\)

где \(C(n,k)\) - это число сочетаний, равное \(\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\), где \(n!\) - факториал числа \(n\).

В данной задаче, мы имеем \((2-a)^6\), где \(a = 2\) и \(b = -a\).

Теперь пошагово решим задачу:

\((2-a)^6 = C(6,0) \cdot 2^6 \cdot (-a)^0 + C(6,1) \cdot 2^5 \cdot (-a)^1 + C(6,2) \cdot 2^4 \cdot (-a)^2 + C(6,3) \cdot 2^3 \cdot (-a)^3 + C(6,4) \cdot 2^2 \cdot (-a)^4 + C(6,5) \cdot 2^1 \cdot (-a)^5 + C(6,6) \cdot 2^0 \cdot (-a)^6\)

Выполним вычисления:

\((2-a)^6 = 1 \cdot 2^6 \cdot (-1)^0 + 6 \cdot 2^5 \cdot (-1)^1 + 15 \cdot 2^4 \cdot (-1)^2 + 20 \cdot 2^3 \cdot (-1)^3 + 15 \cdot 2^2 \cdot (-1)^4 + 6 \cdot 2^1 \cdot (-1)^5 + 1 \cdot 2^0 \cdot (-1)^6\)

Упростим:

\((2-a)^6 = 1 \cdot 2^6 + 6 \cdot 2^5 \cdot (-1) + 15 \cdot 2^4 \cdot 1 + 20 \cdot 2^3 \cdot (-1) + 15 \cdot 2^2 \cdot 1 + 6 \cdot 2^1 \cdot (-1) + 1 \cdot 2^0 \cdot 1\)

\((2-a)^6 = 64 - 192 + 240 - 160 + 60 - 12 + 1\)

\((2-a)^6 = 1\)

Таким образом, первое слагаемое в разложении \((2-a)^6\) равно 1.

Теперь перейдем ко второй задаче.

2) Разложение \((3+2a)^6\):

Здесь у нас \(a = 3\) и \(b = 2a\).

Применим формулу бинома Ньютона:

\((3+2a)^6 = C(6,0) \cdot 3^6 \cdot (2a)^0 + C(6,1) \cdot 3^5 \cdot (2a)^1 + C(6,2) \cdot 3^4 \cdot (2a)^2 + C(6,3) \cdot 3^3 \cdot (2a)^3 + C(6,4) \cdot 3^2 \cdot (2a)^4 + C(6,5) \cdot 3^1 \cdot (2a)^5 + C(6,6) \cdot 3^0 \cdot (2a)^6\)

Продолжим вычисления:

\((3+2a)^6 = 1 \cdot 3^6 \cdot (2a)^0 + 6 \cdot 3^5 \cdot (2a)^1 + 15 \cdot 3^4 \cdot (2a)^2 + 20 \cdot 3^3 \cdot (2a)^3 + 15 \cdot 3^2 \cdot (2a)^4 + 6 \cdot 3^1 \cdot (2a)^5 + 1 \cdot 3^0 \cdot (2a)^6\)

Сократим:

\((3+2a)^6 = 1 \cdot 3^6 + 6 \cdot 3^5 \cdot 2a + 15 \cdot 3^4 \cdot (2a)^2 + 20 \cdot 3^3 \cdot (2a)^3 + 15 \cdot 3^2 \cdot (2a)^4 + 6 \cdot 3^1 \cdot (2a)^5 + 1 \cdot (2a)^6\)

Упростим:

\((3+2a)^6 = 1 \cdot 3^6 + 6 \cdot 3^5 \cdot 2a + 15 \cdot 3^4 \cdot 4a^2 + 20 \cdot 3^3 \cdot 8a^3 + 15 \cdot 3^2 \cdot 16a^4 + 6 \cdot 3^1 \cdot 32a^5 + 1 \cdot 64a^6\)

\((3+2a)^6 = 729 + 2916a + 4860a^2 + 5120a^3 + 3600a^4 + 1728a^5 + 64a^6\)

Таким образом, первые три слагаемых в разложении \((3+2a)^6\) равны 729, 2916a и 4860a^2. Коэффициент при \(a\) в первых трех слагаемых соответственно равен 2916, 4860 и 0.