Сколько звезд 6^m на северном небе нужно, чтобы их общая светимость стала равной видимой светимости дубхи

Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала разобраться, как светимость звезды зависит от ее видимой величины. Формула, описывающая это соотношение, называется формулой Погсона:

\[m_1 - m_2 = 2.5 \log_{10} \left(\frac{L_2}{L_1}\right)\]

Здесь \(m_1\) и \(m_2\) - видимые величины двух звезд, а \(L_1\) и \(L_2\) - их светимости. Поскольку нам даны значения \(m_1 = m\) и \(m_2 = 2.0\), а также \(L_2 = L_1\) (общая светимость), мы можем переписать формулу следующим образом:

\[m - 2.0 = 2.5 \log_{10} \left(\frac{L_1}{L_1}\right)\]

Чтобы найти количество звезд, кратное \(6^m\), нужно исключить \(m\) из уравнения. Для этого мы применяем основание степенной функции \(\log_{10}\) к обоим сторонам уравнения:

\[\log_{10}(6^m) - \log_{10}(10^{2.0}) = \log_{10}(1)\]

Поскольку \(\log_{10}(10^{2.0}) = 2.0\), а \(\log_{10}(1) = 0\), уравнение упрощается:

\[\log_{10}(6^m) - 2.0 = 0\]

Теперь мы можем переписать левую часть уравнения в более простой форме, если вспомним, что \(\log_{10}(a^b) = b \log_{10}(a)\):

\[m \log_{10}(6) - 2.0 = 0\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(m\), разделив оба члена на \(\log_{10}(6)\):

\[m = \frac{2.0}{\log_{10}(6)}\]

Подставив значение \(\log_{10}(6) \approx 0.7781\) (это можно найти с помощью калькулятора), мы можем вычислить \(m\):

\[m \approx \frac{2.0}{0.7781} \approx 2.5737\]

Итак, чтобы общая светимость \(6^m\) звезд стала равной светимости Дубхи, нам потребуется около 2.5737 звезд, кратных \(6^m\), на северном небе.