Сколько вариантов кодов может составить Тимофей из букв Т, И, М, О, Ф, Е, Й, при условии, что буква Т будет

Чтобы найти количество вариантов кодов, которые может составить Тимофей из заданных букв, мы можем использовать комбинаторику, а именно принципы перестановок и сочетаний.

Для начала определим количество способов расположения букв в коде без учета условий. Так как у нас есть 8 различных букв, мы можем переставить их между собой на \(8!\) способов (8 факториал).

Теперь учтем условие, что буква Т должна быть использована хотя бы один раз. Варианты, в которых буква Т не используется вообще, нам не подходят. Все остальные варианты допустимы.

Рассмотрим два случая:
1. Буква Й не используется в коде. В этом случае нам нужно просто вычесть из общего числа перестановок варианты, где буква Т не используется. Таких вариантов будет \(7!\) (7 факториал), так как у нас осталось 7 букв для расстановки.
2. Буква Й используется в коде. В этом случае нам нужно включить варианты, где буква Т не используется, но при этом исключить варианты, где и буква Й не используется. Таких вариантов будет также \(7!\), но при этом нужно учесть, что буква Й может стоять только на одной позиции. Значит, нужно умножить \(7!\) на количество позиций, на которых может находиться буква Й. В данном случае это 8 позиций.

Таким образом, общее количество вариантов кодов, которые может составить Тимофей из заданных букв, будет равно:

\[7! + 8 \times 7!\]

Следовательно, ответ на задачу составляет:

\[7! + 8 \times 7! = 8! = 40 320\]

Тимофей может составить 40 320 вариантов кодов.