Сколько вариантов букетов из трех цветов можно составить в цветочном магазине? А сколько будет возможностей составить

Для решения данной задачи нам необходимо использовать комбинаторику.

1. Варианты букетов из трех цветов:
Перед нами стоит задача выбрать 3 цвета из общего числа доступных цветов. В такой задаче порядок выбора цветов не имеет значения, так как букеты с разным расположением цветов считаются одинаковыми.
Для определения количества вариантов, мы можем использовать формулу сочетаний без повторений:
\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]
Где:
- \(n\) - общее количество доступных цветов,
- \(k\) - количество цветов, которые нужно выбрать для букета.

В нашем случае, у нас есть общее количество доступных цветов, которое не указано. Поэтому давайте предположим, что это число равно 10. Сейчас мы можем подставить значения в формулу:
\[C_{10}^3 = \frac{{10!}}{{3!(10-3)!}}\]
Выполним вычисления:
\[C_{10}^3=\frac{{10!}}{{3! \cdot 7!}}=\frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}}{{3! \cdot 7!}}=\frac{{10 \cdot 9 \cdot 8}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}}=120\]
Таким образом, существует 120 вариантов составления букетов из трех цветов в данном цветочном магазине.

2. Варианты букетов из пяти цветов:
Для этой задачи мы используем ту же формулу сочетаний без повторений:
\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]
Теперь предположим, что общее количество доступных цветов равно 7. Подставим значения в формулу:
\[C_{7}^5 = \frac{{7!}}{{5!(7-5)!}}\]
Выполним вычисления:
\[C_{7}^5=\frac{{7!}}{{5! \cdot 2!}}=\frac{{7 \cdot 6 \cdot 5!}}{{5! \cdot 2 \cdot 1}}=\frac{{7 \cdot 6}}{{2 \cdot 1}}=21\]
Таким образом, существует 21 вариант составления букетов из пяти цветов в данном цветочном магазине.