Сколько существует вариантов расселения группы из восьми командировочных в трех комнатах: двухместной и двух

Чтобы решить данную задачу о расселении группы командировочных, нам потребуется применить комбинаторику.

Обозначим двухместную комнату как \(A\) и две трехместные комнаты как \(B\) и \(C\). Нам нужно определить, сколько возможных вариантов расселения группы из восьми командировочных будет.

Для начала, выберем двух командировочных для помещения в двухместную комнату \(A\). Мы можем выбрать двух командировочных из восьми, используя сочетания. Формула сочетаний записывается как:
\[{C(n, k)} = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]

Где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем. В нашем случае, \(n = 8\) и \(k = 2\).

Вычислим сочетание:
\[{C(8, 2)} = \frac{{8!}}{{2!(8-2)!}} = \frac{{8!}}{{2! \cdot 6!}} = \frac{{8 \cdot 7 \cdot 6!}}{{2! \cdot 6!}} = \frac{{8 \cdot 7}}{{2!}} = \frac{{56}}{{2}} = 28\]

Теперь у нас осталось шесть командировочных, которых нужно разместить в двух трехместных комнатах \(B\) и \(C\). Порядок расселения командировочных внутри каждой комнаты не имеет значения, поэтому нам нужно найти количество сочетаний шести командировочных в трехместной комнате.

Используем формулу сочетаний аналогично предыдущему шагу:
\[{C(6, 3)} = \frac{{6!}}{{3!(6-3)!}} = \frac{{6!}}{{3! \cdot 3!}} = \frac{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{3! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{6 \cdot 5 \cdot 4}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 20\]

Так как каждая из комнат \(B\) и \(C\) может содержать по три командировочных, порядок выбора этих комнат также не имеет значения. Следовательно, нам нужно разместить командировочных из двух комнат в каком-то порядке.

Для этого мы используем формулу перестановок:
\[{P(n)} = n!\]

Где \(n\) - количество элементов, которые мы переставляем.

Вычислим количество перестановок для двух комнат (\(B\) и \(C\)):
\({P(2)} = 2!\)

Теперь мы можем объединить все варианты расселения командировочных в описанных выше комнатах:
\[28 \cdot 20 \cdot 2! = 1120\]

Таким образом, существует 1120 вариантов расселения группы из восьми командировочных в двухместной комнате и двух трехместных комнатах.