Сколько существует разных 6-буквенных последовательностей, образованных из букв слова Р А Д У Г А, если в каждой

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо знать, сколько различных 6-буквенных последовательностей можно составить из букв слова "РАДУГА", при условии, что каждая последовательность должна содержать не менее трех согласных.

Давайте разобьем наше решение на несколько этапов:

Шаг 1: Определение количества способов выбора 6 букв из слова "РАДУГА".
В данном случае нет ограничений на выбор букв, поэтому мы можем выбрать любые 6 букв из 6 доступных. Используем формулу размещений без повторений:
\[ A_{k}^{n} = \frac{n!}{(n-k)!} \]
где \( n \) - количество доступных букв, а \( k \) - количество букв, которые мы выбираем. В нашем случае \( n = 6 \) и \( k = 6 \).
Подставим значения в формулу:
\[ A_{6}^{6} = \frac{6!}{(6-6)!} = \frac{6!}{0!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{1} = 720 \]

Шаг 2: Определение количества способов выбора 6 букв, содержащих не менее трех согласных.
Есть два случая, которые нам нужно рассмотреть: когда в последовательности 3 согласных буквы и 3 гласных буквы, либо когда в последовательности 4 согласных буквы и 2 гласных буквы.

Случай 1: 3 согласных и 3 гласных буквы.
Количество способов выбора 3 согласных из 4 доступных согласных:
\[ C_{3}^{4} = \frac{4!}{3! \times (4-3)!} = \frac{4!}{3! \times 1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 1} = 4 \]
Количество способов выбора 3 гласных из 2 доступных гласных:
\[ C_{3}^{2} = \frac{2!}{2! \times (2-2)!} = \frac{2!}{2! \times 0!} = \frac{2 \times 1}{1} = 2 \]
Теперь мы можем сочетать эти выборы таким образом, чтобы получить последовательность из 6 букв. По правилу умножения у нас будет:
\[ C_{3}^{4} \times C_{3}^{2} = 4 \times 2 = 8 \]

Случай 2: 4 согласных и 2 гласных буквы.
Количество способов выбора 4 согласных из 4 доступных согласных:
\[ C_{4}^{4} = \frac{4!}{4! \times (4-4)!} = \frac{4!}{4! \times 0!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 1} = 1 \]
Количество способов выбора 2 гласных из 2 доступных гласных:
\[ C_{2}^{2} = \frac{2!}{2! \times (2-2)!} = \frac{2!}{2! \times 0!} = \frac{2 \times 1}{1} = 2 \]
Теперь мы можем сочетать эти выборы таким образом, чтобы получить последовательность из 6 букв. По правилу умножения у нас будет:
\[ C_{4}^{4} \times C_{2}^{2} = 1 \times 2 = 2 \]

Шаг 3: Вычисление общего количества 6-буквенных последовательностей.
Теперь мы можем сложить количество последовательностей из случая 1 и случая 2:
\[ 8 + 2 = 10 \]

Итак, существует всего 10 различных 6-буквенных последовательностей, образованных из букв слова "РАДУГА", при условии, что каждая последовательность содержит не менее трех согласных.