Сколько существует 6-буквенных слов, состоящих из букв ж, и, р, а, ф, при условии, что каждое слово содержит букву

Для решения данной задачи воспользуемся принципом включения-исключения. Для начала определим общее количество 6-буквенных слов, которые можно составить из букв "ж", "и", "р", "а" и "ф".
Количество возможных слов равно произведению количества вариантов выбора букв на каждой позиции. Так как у нас 5 различных букв и 6 позиций для заполнения, получаем \(5^6\) (5 в степени 6) вариантов слов.

Однако, теперь нужно исключить слова, в которых буква "а" встречается более 4-х раз. Рассмотрим все возможные случаи.

1. Буква "а" встречается 5 раз:
Здесь есть только одна возможность, и это слово, состоящее только из буквы "а".

2. Буква "а" встречается 6 раз:
Здесь также есть только одна возможность, и это слово, состоящее только из буквы "а".

3. Буква "а" встречается 4 раза:
Если буква "а" встречается 4 раза, то оставшиеся 2 позиции мы можем заполнить любыми из 4-х оставшихся букв, то есть "ж", "и", "р" и "ф". Таким образом, количество слов в этом случае равно произведению количества возможностей выбора 4-х букв на оставшихся 2 позициях: \(4 \cdot 4 = 16\) слов.

4. Буква "а" встречается 3 раза:
Если буква "а" встречается 3 раза, то оставшиеся 3 позиции мы можем заполнить любыми из 4-х оставшихся букв, то есть "ж", "и", "р" и "ф". Таким образом, количество слов в этом случае равно произведению количества возможностей выбора 4-х букв на оставшихся 3 позициях: \(4 \cdot 4 \cdot 4 = 64\) слова.

5. Буква "а" встречается 2 раза:
Аналогично предыдущему случаю, оставшиеся 4 позиции мы можем заполнить любыми из 4-х оставшихся букв, то есть "ж", "и", "р" и "ф". Таким образом, количество слов в этом случае равно произведению количества возможностей выбора 4-х букв на оставшихся 4 позициях: \(4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 256\) слов.

6. Буква "а" встречается 1 раз:
Оставшиеся 5 позиций можно заполнить любыми из 4-х оставшихся букв, то есть "ж", "и", "р" и "ф". Таким образом, количество слов в этом случае равно произведению количества возможностей выбора 4-х букв на оставшихся 5 позициях: \(4^5\) (4 в степени 5) слов.

7. Буква "а" не встречается:
В таком случае, все 6 позиций можно заполнить любыми из 4-х оставшихся букв, то есть "ж", "и", "р" и "ф". Таким образом, количество слов в этом случае равно произведению количества возможностей выбора 4-х букв на 6 позициях: \(4^6\) (4 в степени 6) слов.

Итак, общее количество 6-буквенных слов, состоящих из букв "ж", "и", "р", "а" и "ф" и удовлетворяющих ограничению "а" не более 4-х раз, равно сумме количества слов во всех рассмотренных случаях:
\[5^6 - 1 - 1 - 16 - 64 - 256 + 4^5 + 4^6\]
Вычислив данное выражение, получим ответ на задачу.