Сколько существует 10-значных чисел, состоящих из цифр 8 и 9, в которых не стоят рядом две девятки?

Для решения этой задачи мы можем использовать метод комбинаторики. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Определим общее количество возможных 10-значных чисел, состоящих из цифр 8 и 9.

У нас есть две возможных цифры - 8 и 9, и нам нужно определить, насколько способов мы можем выбрать 10 цифр.

Количество способов выбрать каждую позицию (цифру) равно 2 - для каждой позиции мы можем выбрать как 8, так и 9. Таким образом, общее количество возможных 10-значных чисел равно \(2^{10}\) (2 в степени 10), что равно 1024.

Шаг 2: Определим количество 10-значных чисел, в которых стоят рядом две девятки.

По условию задачи две девятки не могут находиться рядом. Это означает, что девятка не может быть первой или последней цифрой, и не может стоять рядом с восьмёркой.

Мы можем рассмотреть 10-значные числа с одной девяткой и с двумя девятками, а затем вычесть число чисел с двумя девятками из общего количества.

- 10-значные числа с одной девяткой: 9 цифр могут быть либо 8, либо 9. Таким образом, количество таких чисел равно \(2^9\) (2 в степени 9), что равно 512.

- 10-значные числа с двумя девятками: девятки могут занимать две любые позиции из 10 возможных. При этом первая девятка может находиться на любой позиции кроме первой, последней и соседуя с восьмёркой. Таким образом, первая девятка может занимать 7 позиций, а вторая - 6 позиций. Общее количество 10-значных чисел с двумя девятками равно \(7 \times 6 = 42\).

Таким образом, количество 10-значных чисел, состоящих из цифр 8 и 9, в которых не стоят рядом две девятки, равно общему количеству чисел минус количество чисел с двумя девятками:

\(1024 - (512 + 42) = 470\).

Таким образом, существует 470 различных 10-значных чисел, состоящих из цифр 8 и 9, в которых не стоят рядом две девятки.