Сколько существует 10-значных чисел, состоящих из цифр 7 и 6, в которых не употребляются подряд три цифры 6. В ответе

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим несколько случаев:

1) Цифра 7 находится на первом месте числа.
- Затем может следовать цифра 7 или 6 (так как мы ищем числа, состоящие только из цифр 7 и 6 и с условием "не употребляются подряд три цифры 6").
- Если после первой 7 идет еще одна 7, то на третьем месте мы также можем поставить или 7 или 6.
- Если после первой 7 идет цифра 6, то на третьем месте мы можем поставить только цифру 7, так как необходимо избежать три 6 подряд.
- Если после первой 7 стоит цифра 6, то на третьем месте мы можем поставить только цифру 7, чтобы избежать трех 6 подряд.

2) Цифра 6 находится на первом месте числа.
- За первой цифрой 6 может следовать только цифра 7, чтобы избежать трех 6 подряд.

Теперь рассмотрим каждый случай по отдельности:

1) Если на первом месте стоит цифра 7, то на втором месте может быть 7 или 6, на третьем — 7, 6 или 7, и так далее для всех оставшихся семи позиций числа. То есть на каждой из этих семи позиций мы можем выбрать одну из двух цифр: 7 или 6. Таким образом, у нас есть \(2^7\) вариантов выбора цифр на позициях от 2 до 10.

2) Если на первом месте стоит цифра 6, то на втором месте должна быть цифра 7, чтобы избежать трех 6 подряд. На оставшихся восьми позициях мы также можем выбрать одну из двух цифр: 7 или 6. То есть у нас есть \(2^8\) вариантов выбора цифр на позициях от 2 до 10.

Теперь найдем общее количество чисел, удовлетворяющих условию задачи, сложив количество чисел из обоих случаев:

\(2^7 + 2^8 = 128 + 256 = 384\)

Таким образом, количество 10-значных чисел, состоящих из цифр 7 и 6, в которых не употребляются подряд три цифры 6, равно 384.