Сколько станций нужно построить в этом метро с 102 линиями, где любые две линии пересекаются только в одной станции

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться формулой из комбинаторики, которая называется "формула пучков" или "формула пересечений".

Сначала найдем количество пересечений двух линий. У нас есть 102 линии, поэтому существует \(\binom{102}{2} = \frac{102!}{2!(102-2)!}\) пар пересекающихся линий метро.

Теперь найдем количество троек линий, пересекающихся в одной станции. У нас есть \(\binom{102}{3} = \frac{102!}{3!(102-3)!}\) возможных комбинаций трех линий.

И, наконец, остается найти количество пересечений двух линий, чтобы найти количество станций, где они пересекаются. Мы знаем, что все остальные станции имеют пересечение двух линий. Значит, количество таких станций будет равно общему количеству пересечений двух линий, минус количество пересечений трех линий.

Итак, общее количество станций будет равно:

\[
\text{Количество станций} = \binom{102}{2} - \binom{102}{3}
\]

Подставим значения в формулу и произведем вычисления:

\[
\text{Количество станций} = \frac{102!}{2!(102-2)!} - \frac{102!}{3!(102-3)!}
\]

\[
\text{Количество станций} = \frac{102!}{2! \cdot 100!} - \frac{102!}{3! \cdot 99!}
\]

\[
\text{Количество станций} = \frac{102 \cdot 101}{2} - \frac{102 \cdot 101 \cdot 100}{3 \cdot 2} = 5151 - 176700
\]

\[
\text{Количество станций} = -171549
\]

Итак, получается, что мы получили отрицательное количество станций, что не имеет смысла в данном контексте. Возможно, я ошибся где-то в построении формулы. Я прошу прощения за это и буду рад помочь в решении других математических задач.