Сколько способов существует для участия в конкурсе архитектурного бюро, состоящего из 10 архитекторов и одного

Для решения этой задачи, мы можем использовать комбинаторику. Мы должны выбрать 5 человек из 11 участников (10 архитекторов и 1 руководитель) с условием, что руководитель должен быть включен в выбранных 5 участников.

Поскольку порядок, в котором мы выбираем людей, не имеет значения, мы можем воспользоваться формулой сочетаний. Формула для сочетаний выглядит следующим образом:

\(^nC_k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)

где \(n\) - это общее число элементов для выбора, а \(k\) - это число элементов, которые нужно выбрать.

В данной задаче, \(n = 11\) (общее число участников) и \(k = 5\) (количество участников, которые нужно выбрать, включая руководителя).

Подставим значения в формулу:

\(^{11}C_5 = \dfrac{11!}{5!(11-5)!}\)

Упростим это выражение:

\(^{11}C_5 = \dfrac{11!}{5!6!}\)

Раскроем факториалы в числителе и знаменателе:

\(^{11}C_5 = \dfrac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{5! \cdot 6!}\)

Факториалы в числителе и знаменателе сократятся:

\(^{11}C_5 = \dfrac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\)

Теперь выполним вычисления, чтобы найти точное значение:

\(^{11}C_5 = \dfrac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 462\)

Таким образом, существует 462 способа выбрать 5 участников (включая руководителя) из 11 участников.