Сколько саженцев могло быть изначально, если семья посадила несколько их в саду в ряд, после чего добавили по одному

Для решения этой задачи, давайте разберемся пошагово:

Пусть исходно в саду было \(x\) саженцев.
Когда семья добавила по одному саженцу между каждыми двумя соседними, вы получите \(x+1\) саженцев после каждого добавления.

Таким образом, после первого добавления саженцев, в саду будет:

\[
x + (x + 1) = 2x + 1
\]

После второго добавления:

\[
2x + 1 + (x + 1) = 3x + 2
\]

И так далее...

Теперь, согласно условию задачи, в итоге в саду оказалось 169 саженцев. Значит, мы должны приравнять выражение, описывающее количество саженцев после всех добавлений (3x + 2), к 169:

\[
3x + 2 = 169
\]

Решим эту уравнение:

\[
3x = 167
\]

\[
x = \frac{167}{3} \approx 55.67
\]

Мы получили нецелое число, что не является логичным ответом для задачи про саженцы, которые нельзя разделить на части.

Таким образом, переберем целые значения \(x\) в интервале от 1 до 169 и найдем, какое значение соответствует условию:

При \(x = 1\) имеем \(3 \cdot 1 + 2 = 5\), что недостаточно.

При \(x = 2\) имеем \(3 \cdot 2 + 2 = 8\), что слишком много.

При \(x = 3\) имеем \(3 \cdot 3 + 2 = 11\), что тоже недостаточно.

Продолжая перебор, при \(x = 11\) получаем \(3 \cdot 11 + 2 = 35 + 2 = 37\), что все еще мало.

Но при \(x = 56\) получаем \(3 \cdot 56 + 2 = 168 + 2 = 170\), что больше 169.

Таким образом, правильный ответ - \(x = 55\).

Изначально в саду было 55 саженцев.