Сколько различных слов может составить Петя, переставляя буквы слова аврора и избегая слов с двумя подряд одинаковыми

Чтобы решить эту задачу, мы можем применить принцип комбинаторики. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Определение количества возможных перестановок букв слова "аврора".
- В данном случае у нас есть слово из 6 букв: "a", "в", "р", "о", "р", "а". Мы можем переставить эти буквы как угодно, и каждая перестановка будет соответствовать новому слову.
- Формула для вычисления количества перестановок без учета повторений выглядит так:
\(\frac{{n!}}{{n_1! \cdot n_2! \cdot n_3! \cdot \ldots \cdot n_k!}}\),
где \(n\) - общее количество объектов, а \(n_1, n_2, n_3, \ldots, n_k\) - количество повторяющихся объектов каждого типа.

Шаг 2: Определение количества слов, в которых есть пара подряд идущих одинаковых букв.
- Для этого мы должны узнать, сколько раз буква "р" встречается подряд.

Если первая "р" стоит на первом месте, то на втором месте может быть любая из оставшихся 5 букв.
Если первая "р" стоит на втором месте, то на первом месте может быть любая из оставшихся 5 букв, кроме "р".
Оба случая дают нам \(5\) возможностей.

Шаг 3: Определение количества слов без подряд идущих одинаковых букв.
- Мы вычтем количество слов из общего числа слов, в которых есть подряд идущие одинаковые буквы.
- Таким образом, ответ на задачу будет равен: количество перестановок - количество слов с подряд идущими одинаковыми буквами.
- Давайте вычислим это:

Количество перестановок:
\(\frac{{6!}}{{2! \cdot 2!}} = \frac{{720}}{{2 \cdot 2}} = 180\).

Количество слов с подряд идущими одинаковыми буквами:
\(5\).

Итого:
\(180 - 5 = 175\).

Таким образом, Петя может составить 175 различных слов, переставляя буквы слова "аврора" и избегая слов с двумя подряд одинаковыми буквами.