Сколько различных пятибуквенных комбинаций может составить Евгения, используя буквы слова КРЕМНИЙ, при условии

Чтобы решить эту задачу, мы должны разбить ее на несколько случаев и пошагово рассмотреть каждый из них.

1. Буква "Й" не встречается в слове.
В этом случае нам нужно найти, сколько комбинаций можно составить из оставшихся букв: К, Р, Е, М, Н, И. Всего у нас 6 букв.
Для составления пятибуквенных комбинаций мы выбираем пять букв из шести доступных. Для этого можно использовать формулу сочетаний:
\(^6C_5 = \frac{6!}{5! \cdot (6-5)!} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 6\)

Таким образом, когда буква "Й" не встречается, можно составить 6 различных пятибуквенных комбинаций.

2. Буква "Й" встречается ровно один раз.
В этом случае нам нужно найти, сколько комбинаций можно составить, используя буквы К, Р, Е, М, Н, И и одно место для буквы "Й". Всего у нас 7 элементов.
Для этого мы можем выбрать место для буквы "Й" (1 вариант) и затем выбрать 4 из 6 доступных букв для оставшихся позиций.
Таким образом, всего у нас будет \(1 \cdot ^6C_4\) комбинаций.

3. Буква "Й" встречается ровно два раза.
В этом случае нам нужно найти, сколько комбинаций можно составить, используя буквы К, Р, Е, М, Н, И и два места для буквы "Й". Всего у нас 8 элементов.
Для этого мы можем выбрать 2 места для буквы "Й" (вариантов выбрать 2 места из 8 равно \(\binom{8}{2}\)) и затем выбрать 3 из 6 доступных букв для оставшихся позиций.
Таким образом, всего у нас будет \(\binom{8}{2} \cdot ^6C_3\) комбинаций.

Теперь мы можем сложить результаты всех трех случаев, чтобы найти общее количество комбинаций:
\(6 + 1 \cdot \binom{6}{4} + \binom{8}{2} \cdot \binom{6}{3} = 6 + 6 + 28 \cdot 20 = 6 + 6 + 560 = 572\)

Таким образом, Евгения может составить 572 различных пятибуквенных комбинаций, соответствующих условиям задачи.