Сколько различных чисел может остаться в таблице после четырех часов, если в клетках таблицы 100×100 расставлены

Данная задача относится к тематике комбинаторики и требует некоторых предварительных рассуждений. Давайте начнем с формулировки и обоснования вычислений.

Заметим, что в данной таблице 100x100 каждое число имеет четыре соседа, расположенных по сторонам (сверху, снизу, слева, справа). При замене числа в клетке на наибольшее число среди соседей, число может остаться неизменным только в случае, если все его соседи содержат число, которое меньше или равно этому числу. В противном случае, оно будет заменено на бОльшее число.

Продолжим. Заметим, что в случае, когда число является наибольшим среди всех своих соседей, оно останется неизменным. Так как в каждой строке и каждом столбце может быть только одно наибольшее число, то это число останется неизменным на протяжении всего процесса.

Теперь давайте рассмотрим ситуацию, когда число не является наибольшим среди своих соседей. В этом случае оно будет заменено на наибольшее из своих соседей. Если у числа есть несколько максимальных соседей, то оно заменяется на одно из этих чисел, при этом оно лишится своего статуса "наибольшего".

Рассмотрим ситуацию, когда число находится в угловой клетке таблицы. В этом случае оно имеет всего двух соседей, а значит оно может быть заменено только на наименьшее из этих двух чисел. Поэтому, число в угловой клетке не может остаться неизменным.

Таким образом, каждый час число в клетке будет заменяться на наибольшее число среди своих соседей. Если число не является наибольшим среди своих соседей, оно будет заменено на это наибольшее число. Если число является наибольшим среди своих соседей, оно останется неизменным.

Следовательно, на каждом шаге количество различных чисел в таблице будет уменьшаться. Но заметим, что число в каждом углу таблицы не может остаться неизменным, а значит, остальные 98 чисел в строке и 98 чисел в столбце, в которых находятся угловые клетки, могут остаться неизменными.

Таким образом, после четырех часов, в каждой строке и каждом столбце таблицы останутся по два числа (98 чисел в строке и 98 чисел в столбце, исключая угловые клетки). Общее количество чисел, которые могут остаться в таблице, равно \(2 \times 98 \times 2 = 392\) различных числа.

Итак, в таблице размером 100x100, после четырех часов, может остаться 392 различных числа.

Надеюсь, данное объяснение помогло вам понять решение задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, задайте их.