Сколько пятизначных телефонных номеров существует, где все цифры различны и первая цифра равна?

Давайте решим данную задачу пошагово. В данном случае у нас есть несколько условий:

1. Все цифры должны быть различными, то есть ни одна цифра не должна повторяться.
2. Первая цифра должна быть равна 1.

Для определения количества таких номеров нам понадобится знание комбинаторики. Мы можем разделить решение задачи на две части: выбор цифр для оставшихся четырех позиций и их последовательное расположение.

1. Выбор цифр для оставшихся четырех позиций:

У нас есть 10 цифр (от 0 до 9), но первая цифра уже задана как 1. Значит, у нас остается 9 цифр для выбора для оставшихся позиций. Мы можем выбрать цифры для этих позиций без повторений. Для этого мы будем использовать понятие перестановки без повторений (выборка).

Формула для перестановки без повторений: \(P(n, r) = \frac{{n!}}{{(n-r)!}}\)

Где:
- \(P(n, r)\) - перестановка без повторений из n элементов по r элементов.
- n - количество элементов для выбора (в нашем случае 9).
- r - количество позиций, которые нужно заполнить (в нашем случае 4).

Применяем формулу:

\[P(9,4) = \frac{{9!}}{{(9-4)!}} = \frac{{9!}}{{5!}}\]

2. Расположение выбранных цифр в порядке:

После того, как мы выбрали четыре цифры из девяти возможных, нам нужно расположить их в порядке. Так как все цифры различны, порядок следования имеет значение. Для этого мы будем использовать понятие перестановки с повторениями (упорядоченная выборка).

Формула для перестановки с повторениями: \(n^r\)

Где:
- \(n^r\) - перестановка с повторениями из n элементов по r элементов.
- n - количество элементов для выбора (в нашем случае 9).
- r - количество позиций, которые нужно заполнить (в нашем случае 4).

Применяем формулу:

\(9^4\)

Теперь, чтобы найти общее количество пятизначных номеров, удовлетворяющих условию задачи, нам нужно перемножить результаты выбора цифр и их расположения:

\(P(9,4) \times 9^4 = \frac{{9!}}{{5!}} \times 9^4\)

После подсчета всех значений получаем итоговый результат. Давайте его вычислим:

\(\frac{{9!}}{{5!}} \times 9^4 = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 9^4\)

Таким образом, существует \(9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 9^4\) или \(\mathbf{326,592}\) пятизначных телефонных номеров, где все цифры различны, и первая цифра равна 1.