Сколько нулей значительного значения содержится в двоичной записи выражения 4^590 + 8^350 - 2^1020

Чтобы решить данную задачу, нужно посчитать количество нулей в двоичной записи каждого из трех слагаемых: \(4^{590}\), \(8^{350}\) и \(2^{1020}\). Давайте разберемся с каждым слагаемым по очереди.

1. Вычислим двоичную запись числа \(4^{590}\):
Сначала заметим, что \(4 = 2^2\). Тогда:
\[
4^{590} = (2^2)^{590} = 2^{2 \cdot 590} = 2^{1180}
\]
Чтобы найти двоичную запись числа \(2^{1180}\), нужно разложить его на множители с помощью степеней двойки:
\[
2^{1180} = 2^{1024 + 128 + 16 + 8 + 4}
\]
Теперь можно выразить каждую степень двойки в двоичном виде:
\begin{align*}
2^{1024} &= 10000000000\ldots 00_2 \ \text{(1024 нуля)} \\
2^{128} &= 100000000\ldots 00_2 \ \text{(128 нулей)} \\
2^{16} &= 10000_2 \ \text{(16 нулей)} \\
2^8 &= 100000000_2 \ \text{(8 нулей)} \\
2^4 &= 10000_2 \ \text{(4 нуля)}
\end{align*}
Теперь сложим все двоичные числа вместе:
\[
2^{1180} = 10000000000\ldots 00_2 + 100000000\ldots 00_2 + 10000_2 + 100000000_2 + 10000_2
\]
При сложении этих двоичных чисел, в каждом разряде получаем «1», только если в этом разряде была «1» хотя бы в одном из чисел. В нашем случае, в каждом разряде, кроме первого, будет только одна «1». То есть, получим:
\[
2^{1180} = 11111111100\ldots 00100_2 \ \text{(1180 нулей)}
\]
В данном числе имеется 1180 нулей.

2. Вычислим двоичную запись числа \(8^{350}\):
Аналогично предыдущему случаю, заметим, что \(8 = 2^3\). Получаем:
\[
8^{350} = (2^3)^{350} = 2^{3 \cdot 350} = 2^{1050}
\]
Делим 1050 на степени двойки:
\[
2^{1050} = 2^{1024 + 16 + 8 + 2}
\]
Выражаем каждую степень двойки в двоичном виде:
\begin{align*}
2^{1024} &= 10000000000\ldots 00_2 \ \text{(1024 нуля)} \\
2^{16} &= 10000_2 \ \text{(16 нулей)} \\
2^8 &= 100000000_2 \ \text{(8 нулей)} \\
2^2 &= 100_2 \ \text{(2 нуля)}
\end{align*}
Суммируем полученные двоичные числа:
\[
2^{1050} = 10000000000\ldots 00_2 + 10000_2 + 100000000_2 + 100_2
\]
При сложении получаем:
\[
2^{1050} = 11111111100\ldots 0100_2 \ \text{(1050 нулей)}
\]
В данном числе имеется 1050 нулей.

3. Наконец, вычислим двоичную запись числа \(2^{1020}\):
Здесь нет необходимости в разложении на степени двойки, так как уже имеем \(2^{1020}\). Получаем просто:
\[
2^{1020} = 10000000000\ldots 00_2 \ \text{(1020 нулей)}
\]
В данном числе имеется 1020 нулей.

Теперь, остается только сложить количества нулей из каждого слагаемого:
\[
1180 + 1050 - 1020 = 2210
\]
Таким образом, в двоичной записи выражения \(4^{590} + 8^{350} - 2^{1020}\) содержится 2210 нулей значительного значения.