Сколько кубиков можно использовать для построения пирамиды максимальной высоты?

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала определим правило, которое позволит нам построить пирамиду с максимальной высотой. В данной задаче мы предполагаем, что доступно \(N\) кубиков одного размера, и наша цель - построить пирамиду.

Один из способов построения пирамиды - это расположить кубики в слоях, увеличивая каждый слой на один кубик в ширину. Получившаяся пирамида будет иметь ступенчатую форму, где каждый следующий слой больше предыдущего на один кубик в ширину и длину.

Для построения пирамиды нам нужно знать общее количество кубиков, которые нам доступны. Предположим, что это число равно \(N\).

Мы можем решить задачу, найдя максимальную высоту пирамиды для данного количества кубиков. Попробуем построить пирамиду для различных высот и посмотрим, когда количество кубиков станет больше, чем \(N\).

Допустим, мы решили начать с пирамиды высотой 1. В этом случае у нас есть только 1 кубик, который составляет всю пирамиду.

Если мы увеличим высоту пирамиды до 2, то нам понадобится \(1 + 4 = 5\) кубиков. Здесь мы учитываем, что на каждом слое добавляется \(1+2 = 3\) новых кубика. Таким образом, общее количество кубиков в пирамиде высотой 2 будет равно сумме всех кубиков в предыдущих слоях (1) и новых кубиков для текущего слоя (4).

Повторяя этот процесс для пирамиды с высотой 3, мы получим:
общее количество кубиков в пирамиде высотой 3 = \(1 + 4 + 9 = 14\).

Продолжая этот процесс дальше, мы можем построить таблицу:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Высота пирамиды} & \text{Количество кубиков} \\
\hline
1 & 1 \\
2 & 5 \\
3 & 14 \\
4 & 30 \\
5 & 55 \\
\hline
\end{array}
\]

Мы видим, что когда высота пирамиды равна 1, у нас есть 1 кубик. При высоте 2 - 5 кубиков, высоте 3 - 14 кубиков и так далее.

Теперь дело осталось за нами! Давайте найдем наибольшую высоту пирамиды, для которой общее количество кубиков не превышает \(N\). В данной таблице мы видим, что когда высота равна 5, общее количество кубиков составляет 55. Однако, если мы рассмотрим высоту 6, то общее количество кубиков будет 91, что превышает \(N\).

Таким образом, для построения пирамиды максимальной высоты, мы можем использовать 5 кубиков.