Сколько информации содержится в сообщениях об извлечении яблока (I1), груши (I2), лимона (I3) и ананаса из ящика

Задача состоит в определении количества информации, содержащейся в сообщениях о извлечении яблока, груши, лимона и ананаса из ящика, содержащего 128 фруктов (16 яблок, 16 груш, 64 лимона и 32 ананаса), последовательно и с возвратом.

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать понятие информационной энтропии. Информационная энтропия определяет меру неопределенности в случайном событии.

Для начала определим количество информации, содержащееся в сообщении об извлечении одного яблока. В ящике изначально находится 16 яблок, поэтому вероятность извлечения одного яблока равна \(P(I1) = \frac{16}{128} = \frac{1}{8}\). Таким образом, количество информации в сообщении об извлечении одного яблока вычисляется по формуле:

\[I(I1) = -\log_2 P(I1)\]

\[I(I1) = -\log_2 \left(\frac{1}{8}\right)\]

\[I(I1) = -(-3)\]

\[I(I1) = 3\]

То есть, сообщение об извлечении одного яблока содержит 3 бита информации.

Аналогично, для сообщений об извлечении груши, лимона и ананаса количество информации можно вычислить следующим образом:

Для извлечения груши:
\[I(I2) = -\log_2 P(I2) = -\log_2 \left(\frac{16}{128}\right) = -(-3) = 3\]

Для извлечения лимона:
\[I(I3) = -\log_2 P(I3) = -\log_2 \left(\frac{64}{128}\right) = -(-1) = 1\]

Для извлечения ананаса:
\[I(I4) = -\log_2 P(I4) = -\log_2 \left(\frac{32}{128}\right) = -(-2) = 2\]

Таким образом, сообщения об извлечении каждого фрукта содержат определенное количество информации: 3 бита для яблока и груши, 1 бит для лимона и 2 бита для ананаса.

Теперь, чтобы определить количество информации в сообщении об извлечении фруктов последовательно и с возвратом, нужно сложить количество информации для каждого фрукта.

Общее количество информации в сообщениях будет равно:
\[I_{total} = I(I1) + I(I2) + I(I3) + I(I4)\]
\[I_{total} = 3 + 3 + 1 + 2\]