Сколько дорог потребуется для соединения каждого города с каждым другим городом в стране, где есть 100 городов?

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо понять, каким образом мы можем соединить каждый город с каждым другим городом в стране.

Для начала рассмотрим, сколько комбинаций возможностей существует для соединения городов между собой. Поскольку у нас есть 100 городов, мы можем выбрать 2 города из 100, используя сочетания без повторений. Формула для вычисления числа сочетаний без повторений из n элементов по k элементов - это \(C(n,k)\). В данном случае n = 100, k = 2, поэтому мы можем вычислить количество возможных дорог по формуле:

\[C(100,2) = \frac{100!}{2!(100-2)!}\]

Вычислив это выражение, мы получим количество возможных дорог для соединения городов в стране.

\[C(100,2) = \frac{100!}{2! \cdot 98!}\]

Чтобы упростить эту формулу, мы можем использовать факториалы. Факториал числа n обозначается как n! и представляет собой произведение всех положительных целых чисел от 1 до n.

В данном случае, нам пригодятся факториалы чисел 100, 2 и 98.

\(100! = 100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot ... \cdot 2 \cdot 1\)

\(2! = 2 \cdot 1\)

\(98! = 98 \cdot 97 \cdot ... \cdot 2 \cdot 1\)

Подставим эти значения в нашу формулу:

\[C(100,2) = \frac{100!}{2! \cdot 98!} = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot ... \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 98 \cdot 97 \cdot ... \cdot 2 \cdot 1}\]

В числителе и знаменателе многие числа сокращаются, оставляя у нас следующее:

\[C(100,2) = 100 \cdot 99 = 9900\]

Таким образом, для соединения каждого города с каждым другим городом в стране, нам потребуется 9900 дорог.