Сколько деталей нужно проверить, чтобы с вероятностью не менее 0,95 обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь, если

Для решения данной задачи нам понадобятся знания из теории вероятности. Давайте разберемся пошагово.

В данной задаче мы хотим найти количество деталей, которое нужно проверить, чтобы с вероятностью не менее 0,95 обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь.

Известно, что в среднем 5% всех деталей не удовлетворяют стандарту. Это означает, что вероятность того, что случайно выбранная деталь неудовлетворяет стандарту, составляет 0,05.

Теперь давайте воспользуемся комбинаторикой. Мы должны выбрать определенное количество деталей из их общего количества для проверки. Обозначим это количество как \(n\).

Если мы хотим обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь, это означает, что нам нужно найти вероятность того, что все выбранные детали будут удовлетворять стандарту и вычесть эту вероятность из 1.

Вероятность того, что одна случайно выбранная деталь удовлетворяет стандарту, составляет 0,95 (поскольку 5% неудовлетворяют стандарту).

Теперь мы можем записать формулу для вероятности того, что все проверенные детали удовлетворяют стандарту:

\[P\left(\text{{все детали удовлетворяют стандарту}}\right) = 0,95^n\]

Искомая вероятность (чтобы обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь) будет равна:

\[P\left(\text{{хотя бы одна нестандартная деталь}}\right) = 1 - P\left(\text{{все детали удовлетворяют стандарту}}\right)\]

Из условия задачи нам известно, что эта вероятность должна быть не менее 0,95.

Поставим неравенство:

\[1 - P\left(\text{{все детали удовлетворяют стандарту}}\right) \geq 0,95\]

Заменим \(P\left(\text{{все детали удовлетворяют стандарту}}\right)\) на выражение \(0,95^n\):

\[1 - 0,95^n \geq 0,95\]

Теперь решим это неравенство относительно переменной \(n\).

Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

\[-0,95^n \geq -0,05\]

Изменим знак неравенства на противоположный:

\[0,95^n \leq 0,05\]

Возьмем логарифм от обеих частей неравенства:

\[\ln(0,95^n) \leq \ln(0,05)\]

По свойствам логарифмов, мы можем переписать левую часть как:

\(n \cdot \ln(0,95) \leq \ln(0,05)\)

Теперь разделим обе части неравенства на \(\ln(0,95)\):

\[n \leq \frac{{\ln(0,05)}}{{\ln(0,95)}}\]

Осталось только вычислить это выражение, чтобы получить количество деталей, которое нужно проверить:

\[n \leq \frac{{\ln(0,05)}}{{\ln(0,95)}} \approx 59,65\]

Ответ: Чтобы с вероятностью не менее 0,95 обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь, необходимо проверить не менее 60 деталей.