Сколько цифр 0, 1 и 2 содержит троичная запись числа 4^3*3^19?

Чтобы решить эту задачу, нам нужно разложить число \(4^3 \cdot 3^{19}\) на множители и выразить его в троичной системе счисления. Затем мы посчитаем, сколько цифр 0, 1 и 2 содержится в этой записи.

Давайте начнем с разложения числа \(4^3 \cdot 3^{19}\). Поскольку \(4 = 2^2\), то \(4^3 = (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6\). Аналогично, \(3^{19}\) означает \(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 3\) (\(19\) раз), что можно записать как \(3^{19} = 3^{18} \cdot 3 = (3^2)^9 \cdot 3 = 9^9 \cdot 3\).

Теперь мы можем вычислить значение числа \(4^3 \cdot 3^{19}\):
\[4^3 \cdot 3^{19} = 2^6 \cdot 9^9 \cdot 3.\]

Давайте переведем полученное число в троичную систему счисления. Чтобы выполнить этот перевод, мы делим число по основанию 3 и записываем остатки от деления в обратном порядке.

Поделим число \(2^6 \cdot 9^9 \cdot 3\) на 3. Получим:
\[2^6 \cdot 9^9 \cdot 3 = (2^6 \cdot 9^9 \cdot 3) \div 3 = 2^6 \cdot 9^9.\]
Остаток от деления равен 0.

Поделим число \(2^6 \cdot 9^9\) на 3:
\[2^6 \cdot 9^9 = (2^6 \cdot 9^9) \div 3 = 2^6 \cdot 3^{9+1}.\]
Остаток от деления равен 0.

Продолжаем делить число \(2^6 \cdot 3^{10}\) на 3:
\[2^6 \cdot 3^{10} = (2^6 \cdot 3^{10}) \div 3 = 2^6 \cdot 3^{10-1}.\]
Остаток от деления равен 0.

Поделим число \(2^6 \cdot 3^9\) на 3:
\[2^6 \cdot 3^9 = (2^6 \cdot 3^9) \div 3 = 2^6 \cdot 3^{9-1}.\]
Остаток от деления равен 0.

Продолжаем делить число \(2^6 \cdot 3^8\) на 3:
\[2^6 \cdot 3^8 = (2^6 \cdot 3^8) \div 3 = 2^6 \cdot 3^{8-1}.\]
Остаток от деления равен 0.

И так далее...

Мы увидели, что каждое последующее деление будет иметь остаток 0. Таким образом, запись числа \(4^3 \cdot 3^{19}\) в троичной системе будет иметь только цифры 0.

Ответ: троичная запись числа \(4^3 \cdot 3^{19}\) содержит только цифры 0.