Сколько чисел существует, у которых в их шестнадцатеричной записи имеется 3 цифры, так что все цифры разные и никакие

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьём её на несколько этапов и последовательно рассмотрим каждый из них.

Шаг 1: Определение количества трёхзначных чисел в шестнадцатеричной системе счисления
Для определения количества трёхзначных чисел в шестнадцатеричной системе нам нужно вычислить разницу между наибольшим и наименьшим трёхзначным числом. В шестнадцатеричной системе мы используем цифры от 0 до 9, а также буквы от A до F. Таким образом, наименьшее трёхзначное число будет 100, а наибольшее - FFF.

Теперь найдём разницу между этими числами:
\[
\text{{Разница}} = \text{{Наибольшее трёхзначное число}} - \text{{Наименьшее трёхзначное число}} + 1
\]
\[
\text{{Разница}} = \text{{FFF}} - \text{{100}} + 1 = 15 \times 15 \times 15 + 1 = 3376
\]
Таким образом, в шестнадцатеричной системе есть 3376 трёхзначных чисел.

Шаг 2: Определение количества способов выбрать 3 разных цифры в шестнадцатеричной системе
Чтобы выбрать 3 разных цифры в шестнадцатеричной системе, мы можем воспользоваться комбинаторной формулой для количества сочетаний без повторений. По формуле, количество сочетаний из n элементов по k элементов равно:
\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n - k)!}}
\]
В нашем случае n = 16 (так как в шестнадцатеричной системе 16 возможных цифр), а k = 3 (так как мы выбираем 3 цифры). Подставив значения в формулу, получим:
\[
C(16, 3) = \frac{{16!}}{{3! \cdot (16 - 3)!}} = \frac{{16!}}{{3! \cdot 13!}} = \frac{{16 \cdot 15 \cdot 14}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 560
\]
Таким образом, есть 560 способов выбрать 3 разных цифры в шестнадцатеричной системе.

Шаг 3: Определение количества способов разместить выбранные цифры так, чтобы два чётных числа и два нечётных числа не идут последовательно
Теперь давайте разобьём это условие на две части: размещение цифр чётного числа и размещение цифр нечётного числа.

Размещение цифр чётного числа:
Число должно начинаться с чётной цифры, затем следовать нечётная цифра, и в конце стоять ещё одна чётная цифра. Есть 8 возможных чётных цифр (0, 2, 4, 6, 8, A, C, E) и 8 возможных нечётных цифр (1, 3, 5, 7, 9, B, D, F). Чтобы рассчитать количество способов размещения цифр чётного числа, умножим количество возможных чётных цифр на количество возможных нечётных цифр без последовательных чисел, а затем умножим на 2 (так как последняя цифра тоже может быть чётной или нечётной):
\[
\text{{Количество способов размещения цифр чётного числа}} = 8 \cdot 8 \cdot 2 = 128
\]

Размещение цифр нечётного числа:
Теперь у нас осталось 6 чётных цифр (0, 2, 4, 6, 8, E) и 8 нечётных цифр (1, 3, 5, 7, 9, B, D, F). Аналогично предыдущему шагу, умножим количество возможных чётных цифр на количество возможных нечётных цифр без последовательных чисел, а затем умножим на 2:
\[
\text{{Количество способов размещения цифр нечётного числа}} = 6 \cdot 8 \cdot 2 = 96
\]

Шаг 4: Нахождение общего количества чисел, удовлетворяющих условиям задачи
Для нахождения общего количества чисел, удовлетворяющих условиям задачи, мы можем умножить количество трёхзначных чисел на количество способов выбрать 3 разных цифры в шестнадцатеричной системе и на количество способов разместить цифры в выбранных числах:
\[
\text{{Общее количество чисел}} = \text{{Количество трёхзначных чисел}} \times \text{{Количество способов выбрать 3 разных цифры}} \times \text{{Количество способов разместить цифры}}
\]
\[
\text{{Общее количество чисел}} = 3376 \times 560 \times 128 \times 96 = 155,650,201,600
\]

Таким образом, существует 155,650,201,600 чисел, у которых в их шестнадцатеричной записи имеется 3 цифры, так что все цифры разные и никакие два четных числа и два нечетных числа не идут последовательно.