Сколько букетов, состоящих из 5 цветков каждый, мог заказать хозяин кафе, если для украшения столов ему требуется

Чтобы решить эту задачу, нужно использовать принцип комбинаторики, а именно комбинацию.

Дано, что в каждом букете будет 5 цветков, а всего требуется 38 цветков на 10 букетов. Наша задача - найти количество возможных комбинаций 5 цветков из 38.

Формула для нахождения количества комбинаций из n элементов по k:

\({{n}\choose{k}} = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\),

где n! - это факториал числа n (произведение всех чисел от 1 до n), а \({{n}\choose{k}}\) - количество комбинаций из n элементов по k.

В нашем случае, n = 38 (общее количество цветков) и k = 5 (количество цветков в каждом букете).

Подставляем значения в формулу:

\({{38}\choose{5}} = \frac{{38!}}{{5!(38-5)!}} \).

Теперь вычислим факториалы:

\(38! = 38 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\).

\(5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\).

\(33! = 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\).

После вычисления факториалов, подставляем значения в формулу:

\({{38}\choose{5}} = \frac{{38!}}{{5!(38-5)!}} = \frac{{38!}}{{5! \cdot 33!}}\).

Теперь сокращаем:

\({{38}\choose{5}} = \frac{{38 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\).

Производим вычисления:

\({{38}\choose{5}} = \frac{{101\ 270\ 560}}{{120}}\).

Итак, \( \frac{{101\ 270\ 560}}{{120}} = 844\ 917\).

Округляем полученный результат до целого числа, так как количество букетов должно быть целым:

844 917.

Таким образом, хозяин кафе может заказать 844 917 букетов, состоящих из 5 цветков каждый, чтобы украсить столы.